数的认识 简易方程 一、数和数的运算 数的整除 二、代数初步知识 数的运算 比和比例 一般复合应用题 长度
典型应用题 面积 三、应用题 分数、百分数应用题 四、量的计量 体积 列方程解应用题 重量 比和比例应用题 时间 人民币
线 统计表
平面图形的认识与计算 角 六、统计与概率
五、空间与图形 平面图形 统计图
长方体、正方体
立体图形的认识与计算
圆柱体、圆锥体
一、数和数的运算
（一）数的认识
整数的含义：像…-3，-1，0，1，2，3，…这样的数统称整数。
正数和负数的含义：像1，+5，6，…这样的数叫做正数；像-3，-2，-9，…
这样的数叫做负数。
占位
0是最小的自然数，0是偶数，0的作用 表示起点
表示界线
自然数 1是最小的一位数，是自然数的基本单位；1既不是质数，也不是合数。 数的意义： 是整数的一部分，可表示基数也可以表示序数
意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做
分数。表示其中一份的数就是分数单位
分数
真分数——分子比分母小（小于1）
分类： 假分数——分子大于或等于分母（大于或等于1） 带分数——分子比分母大（大于1）
意义：把整体“1平均”分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份
是十分之几，百分之几，千分之几……可以用小数表示
有限小数
按小数部分分 无限不循环小数
小数 无限小数 纯循环小数
分类 纯小数 循环小数
按整数部分分
带小数
混循环小数
整数和小数数位顺序表 整数部分 数位 … 亿级 万级 个级 小数部分 … 千百十亿千百十万千百十个十百千万… 亿亿亿位 万万万位 位 位 位 位 分分分分位 位 位 位 位 位 位 位 位 位 计数单位 … 千百十亿 千百十万 千 百 十 一 十百千万… 亿 亿 亿 万 万 万 分分分分之之之之一 一 一 一 百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。（百分率或百分比） 折扣*：商业用名词，几折就是十分之几，成数，几成就是百之几十。
注意：百分数、折扣只表示两个数的倍比关系，而分数除倍比关系外还可以表示具体数量。 数的读写：
1、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每级末尾的0都不读，其他数位连续
有几个0都只读一个0。
2、整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在
那个数位上写0。
3、小数的读写：整数部分按整数来读（写），小数点读作“点”，小数部分依次读（写）
出每一位上的数字。
数的改写 写成用“万”或“亿”作单位的数 1、多位数的改写和省略： 省略“万”或“亿”位后面的尾数 2、分数、小数、百分数的互化 改写成分母是10、100、1000…的分数再约分 小数 分数 用分子除以分母
小数点向右移动两位，同时添上%
小数 百分数 去掉%，小数点向左移动两位
写成分数形式并约分
百分数 分数
先写成小数，再写成百分数
数的大小比较：
1、整数的大小比较：先看位数，位数多的数大：位数相同，从高位看起相同数位上的数大
的那个数就大
2、小数大小的比较：先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同
就看小数部分从高位看起，依数位比较
3、分数大小比较：分母相同分子大的分数大；分子相同分母小的分数大；分母不同，先通
分再比较。
数的基本性质：
1、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘上或者除以相同的数（0除外），分数
的大小不变。
2、小数的基本性质：小数的末尾添“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。 （二）数的整除 定义：（小学阶段研究“数的整除”时所说的数一般指非0自然数）
数a除以b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（或者说b能整除a）。 倍数 公倍数 最小公倍数 整除 因数 公因数 最大公因数
质数 合数 互质数（已删除） 质因数 分解质因数（已删除）
2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8。
偶数 奇数（能被2整数的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数。） 3的倍数的特征：各位上的数的和是3的倍数
5的倍数的特征：个位上是0或者5的数。
（三）数的运算 1、四则运算的意义 数的 分整数 类 运算名称 小数 分数 加法 减法 乘法 把两个数合并成一个数的运算。 已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。 求几个相同加数的和小数乘整数与整数乘法意分数乘整数与整数乘法意的简便运算。 义相同。 义相同。 一个数乘小数，就是求这一个数乘分数，就是求这个数的十分之几，百分之个数的几分之几是多少。 几…是多少。 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 除法 2、四则运算的法则
整数 相同数位对齐，从低位算起 加法：满十就向前一位进一 退一当十 小数 起，按整数加减法进行相加减。 分数 小数点对齐，从低位算1、同分母分数相加减，分母不变，分子加减 减法：不够减就从前一位退，计算，结果中的小数点2、异分母分数相加减，先通分，然后再和加减的数的小数点对按同分母分数相加减的方法计算。 齐。 个因数每一位上的数去乘第积。 3、结果能约分的要约分。 分母相乘的积作分母。 1、从个位乘起，依次用第二1、按整数乘法法则算出1、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，一个因数。 2、看因数中一共有几位2、有整数的把整数看作分母是1的假分乘法 2、用第二个因数哪一位上的小数，就从积的右边起数。 数去乘，得数的末位就和第二数出几位点上小数点。 3、有带分数的，通常先把带分数化成假个因数的哪一位对齐。 3、再把几次乘得的数加起来。 除数是整数：从被除数的高位除数是小数：先移动除甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以除起，除数是几位就先看被除数的小数点，使它变成乙数的倒数。 数的前几位，如果不够除，就整数，除数的小数点向分数。 除要多看一位，除到哪一位就要右移动几位，被除数的法 把商写在哪一位的上面。商的小数点也向右移动相同小数点和被除数的小数点对的位数（位数不够的补齐。 3、四则运算各部分的关系： 加法 加数+加数=和
被减数—减数=差
一个加数=和—另一个加数 减法 被减数=减数+差
减数=被减数—差 乘法 因数×因数=积 被除数÷除数=商 一个因数=积÷另一个因数 除法 被除数=商×除数
0），然后按照除数是整数的除法进行计算。 除数=被除数÷商 4、运算定律和运算性质
加法交换律 : a+b=b+a 加法结合律 : (a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律 : a×b=b×a
乘法结合律 : （a×b）×c=a×(b×c)
乘法分配律 : (a+b)×c=a×c+b×c 减法的运算性质: a-b-c=a-(b+c) 除法的运算性质: a÷(b×c)=a÷b÷c 5、四则运算的顺序：
在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算。
有括号的算式里，要先算括号里的，再算括号外的。
二、代数的初步知识
（一）简易方程
1、用字母表示数：
（1） 用字母可以表示我们学过的自然数、整数、小数、百分数……
（2） 用含有字母的式子，可以简明地表达数学概念、运算定律和数学计算公式。还可以
简明地表达数量关系。
2、简易方程
（1） 等式：表示相等关系的式子。 （2） 方程：含有未知数的等式。
（3） 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 （4） 解方程：求方程的解的过程。
（5） 解方程的依据：等式的基本性质（天平平衡的道理） （二）比和比例：
1、 比和比例的意义与性质
意义 基本 性质 比 比例 两个数相除又叫做两个数的比 表示两个比相等的式子叫做比例 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的在比例里，两个内项的积等于两数（0除外），比值不变。 个外项的积。 2、 比、分数与除法的关系
比 分数 除法 比号 分数线 除号 前项 分子 被除数 后项 分母 除数 比值 分数值 商 3、 求比值和化简比的区别与联系
一般方法 结果 是一个商，可以是整数，小数或分数。 根据比的基本性质，把比的前项和后项同时乘是一个比 ，它的前项和后化简比 上或同时除以相同的数（0除外）。 项都是整数。 求比值 根据比值的意义，用前项除以后项。 4、 比例尺
图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 5、正比例和反比例的区别与联系
正比例关系 反比例关系 相同点 不同点 特征 关系式 两种相关联的量，一两种量中相对应的两个数 种量变化，另一种量的比值一定。 也随着变化。 两种量中相对应的两个数ху=k （一定） 的积一定。 三、应用题 （一） 一般复合应用题 1、一般复合应用题的解法
（1）分析法：从问题入手，逐步分析题里的已知条件。 （2）综合法：从应用题的已知条件入手，逐步推出未知。
（3）分析综合法：将分析法、综合法结合起来交替使用的方法。当已知条件中有明显计算过程时就用综合法顺推，遇到困难时再转向原题所提的问题用分析法帮忙，逆推几步，顺推和逆推联系上了，问题便解决了。 2、一般复合应用题的解题步骤：
（1）审清题意，并找出已知条件和所求问题；
（2）分析题目里的数量间的关系，从而确定先算什么，再算什么，最后算什么； （3）列式，算出结果； （4）进行检验，写出答案。
（二）典型应用题（有一定解答规律的应用题）
1、求平均数问题
（1） 求平均数问题的特点：把各“部分量”合并为“总量”，然后按“总份数”
平均，求其中一份是多少。
（2） 求平均数问题的解题规律：关键是先求出“总量”和“总份数”，然后用“总
量÷总份数=平均数”，特殊情况可用“移多补少法”解答。
2、归一应用题
（1） 归一应用的特点：从已知条件中求出“单一量”，再以“单一量”为标准去
计算所求的量。归一问题通常分为正归一和反归一。
（2） 归一问题的解题规律：首先求出一个单位数量，然后以这个“单位量”为
标准，根据题目的要求，用乘法算出若干个“单位量”是多少，这是正归一的解题规律。或用除法算出总量包含多少个“单位量”，这是反归一的解题规律。归一问题还可以用倍比问题的解题方法求解。
3、相遇问题
（1）特点：A、两个运动物体；B、运动方向相向；C、运动时间同时。 （2）解题规律：速度和×相遇时间=路程
路程 ÷速度和=相遇时间 路程 ÷相遇时间=速度和
（三）分数、百分数应用题 1、分数乘法应用题
已知一个数，求它的几分之几（百分之几）是多少，用乘法。即：“一个数×几
分之几（百分之几）”。
已知条件：表示单位“1”的量；单位“1”的几分之几（或百分之几）（又
称：分率）
特征：
所求问题：求单位“1”的几分之几（百分之几）是多少（又称：部分量）
用等式表示三量的关系：单位“1”的量×分率=部分量
对应关系
2、分数除法应用题
（1）已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数，用除法。即“多少÷几分之几”
已知条件：单位“1”的几分之几（分率）；单位“1”的几分之几
是多少
（部分量）
特征 所求问题：单位“1”的量
用等式表示三量的关系：部分量÷分率=单位“1”的量 对应关系
（2）求一个数是另一个数的几分之几（百分之几）用除法。即“一个数÷另一个数”。
已知条件：表示单位“1”的量；单位“1”的几分之几是多少（部
分量）
特征
所求问题：求部分量是单位“1”的几分之几（百分之几）
用等式表示三量的关系：部分量÷单位“1”的量=分率
对应关系
3、工程问题的应用题
把工作总量用“1”表示，工作效率用单位时间内做工作总量的“几分之一”表示。根据工作总量与工作效率，就能求出合作完成的工作时间。
三量之间的关系式：工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作效率=工作时间
工作总量÷工作时间= 工作效率
（四）列方程解应用题
1、列方程解应用题的思考方法：用字母代替应用题中的未知数，根据数量间的相等关系列方程，解方程。
2、列方程解应用题的一般步骤
（1）弄清题意，找出未知数并用X表示。 （2）找出数量间的相等关系，列出方程。 （3）解方程。 （4）检验并答。
（五）比和比例应用题
比和比例应用题包括：比例尺、按比例分配、和正反比例应用题。 1、比例尺中解题关系式：图上距离∶实际距离=比例尺
2、按比例分配应用题 ：要分配的总量×各部分量的分率=各部分量。 3、正比例 у/χ=X/Y 反比例χу=XY（正、反比例应用题已删去）
四、量与计量
（一）量、计量和计量单位的意义
事物的多少、长短、大小、轻重、快慢等，这些可以测定的客观事物的特征叫做量。把一个要测定的量同一个作为标准的量相比较叫做计量。用来作为计量标准的量叫做计量单位。
（二）常用的计量单位及其进率
1、长度、面积、地积、体积、容积、重量单位及其进率 1千米（km）=1000米(m) 1米(m) =10分米 (dm) 长度 1分米(dm)=10厘米(cm) 1厘米(cm)=10毫米(mm) 1平方千米=1000000平方米 1平方米=100平方分米 1平方千米=100公顷 面积 地积 1平方分米=100平方厘米 1公顷=10000平方米 1平方厘米=100平方毫米 1立方米=1000立方分米 1升=1000毫升 体积 1立方分米=1000立方厘米 容积 1立方分米=1升 1立方厘米=1000立方毫米 1立方厘米=1毫升 重量 1吨=1000千克 1千克=1000克 2、常用时间单位及其关系 世年 月 日 时 分 秒 纪 100 12 24 60 60 每月31天的有1、3、5、7、8、10、12各月；每月30天的有4、6、9、11各月；平年全年365天，平年二月28天；闰年全年366天，闰年二月29天。 3、人民币：1元＝10角 1角＝10分 （三）同类计量单位之间的转化
（化法）乘以进率
高级单位的数 低级单位的数
（化法）除以进率
五、空间与图形
（一）平面图形的认识和计算
1、线
线段：用直尺把两点连接起来就得到一条线段。
线段的长就是这两点间的距离。（有两个端点）
直线：把线段的两端无限延 平行线：在同一平面内不相交的两条直线,叫做
线 长可以得到一条直线 平行线。
（没有端点） 垂线：两条直线相交成直角,这两条直线
叫做互 相垂直,其中一条直线叫另一条
直线的垂线。
射线：把线段的一端无限延长可以得到一条射线。（有一个端点） 2、角：从一点引出两条射线所组成的图形 锐角：小于90度的角
角 直角：等于90度的角
钝角：大于90度而小于180度的角
平角：180度的角 周角：360度的角 3、平面图形
（1）三角形：由三条线段首尾相互连接围成的图形 锐角三角形：三个角都是锐角
按角分 直角三角形：有一个角是直角
钝角三角形：有一个角是钝角
三角形
梯形 等腰三角形：两条边相等
按边分 等边三角形：三条边相等
不等边三角形：三条边都不相等
（2）四边形：由四条线段首尾依次连接围成的图形。 扇形
平行四边形 长方形 正方形 （3）圆形
直角梯形
四边形 环形
等腰梯形
（画线段、画角、画高、量线段、画垂线、画圆、画对称轴） （4）特征及周长、面积计算公式： 名称 图形 字母意义 特 征 a：边长 四条边都相等，四个角都是直角 a 正方形 长方形 平行四 边形 三角形 周长面积公式 C=4a S=a2 C=2(a+b) S=ab S=ah S=ah÷2 S=(a+b)h÷2 梯形 圆 b a h a h a a h b d r a：长 b：宽 a：底 h：高 a：底 h：高 a：上底 b：下底 h：高 d：直径 r：半径 对边相等，四个角都是直角 两组对边分别平行且相等 有三条边，三个角，内角的和是180度 只有一组对边平行 同圆内半径相等，直径相等，直径是半径C=πd=2πr 的2倍 S=πr2 (二)立体图形的认识和计算 1、长方体与正方体特征的区别与联系 特征 名称 长方体 正方体 相同点 面 棱 顶点 612个 条 612个 条 不同点 面的特点 棱长 6个面一般都是长方形（也可能有两个8 相对的面是正方形），相对的面的面积个 相等 8 6个面都是相等的正方形 个 每组（有3组，分别叫长、宽、高）互相平行的4条棱相等 12条棱都相等 2、圆柱、圆锥的特征 名称 圆 柱 圆 锥 图形 特征 上、下底面是面积相等的圆，两个底面之间的距离叫做高。侧面沿高展开是长方形（或正方形）。有无数条高 底面是圆形，顶点到底面圆心的距离叫做高。只有一条高。 3、立体图形的表面积和体积的计算公式 名称 字母意义 图形 正方体 长方体 圆柱体 a：棱长 a：长 b：宽 h：高 r：底面半径 h：高 c：底面周长 r：底面半径 h：高 表面积s ， 体积v S=6a2 V=a3 S=(ab+ah+bh)x 2 V=abh S侧=ch=πdh =2πrh S表=S侧 +2S底面 V=sh=πr2h V=sh÷3 =πr2h÷3 圆锥体 六、统计与概率
单式统计表
统计表 复式统计表
百分数统计表
条形统计图（单式、复式） 统计图 折线统计图（单式、复式） 扇形统计图 统计图的制法与特点 统计表包括：总标题、纵栏标题、横栏标题、数据资料栏、数量单位、制表日期
制法 特点 很容易看出数量的多少 1、整理数据，画出横、纵轴，单位长度表示一条形 定的数量2、根据数量多少画直条 统计图 3、写名称、制表日期、图例 1、整理数据，画出横、纵轴，单位长度表示一不但可表示数量的多少，而定的数量 且能够表示数量的增减变化 折线 2、根据数量多少描点，再把各点用线段顺次连统计图 接起来。 3、写名称、制表日期、图例 1、计算各部分占总数的百分比，再算出与各部清楚的表示出各部分与总数扇形 分所对应的扇形的圆心角的度数。2、取适当半及部分与部分的关系 统计图 径画圆，用量角器量出各扇形的圆心角，作扇形。3、注明各扇形表示内容和所占百分比，并用不同的标记加以区别，4、写上标题及制图日期。 数学《北师大版》与（人教版）增、删知识 《北师大版》比（人教版）新增知识
1、分类（按一定标准或不同标准进行分类） 2、位置与顺序（前、后、左、右、上、下） 3、位置与方向（东、南、西、北）
4、方向与路线（东南、东北、西南、西北） 5、观察物体（正面、上面、左面或右面）
6、可能性（大、小；可能、不可能、一定；分数表示、几种结果） 7、生活中的推理（列表解决）
8、对称、平移或旋转（轴对称图形、方向、几格） 9、图形变换（绕点、方向、旋转90°、平移几格） 10、确定位置（方向、北偏××度，距离；数对） 11、生活中的负数（0既不是正数，也不是负数） 12、数图形（数角、数三角形、数长方形） 13、游戏公式（公平性）
14、图形规律（摆三角形、摆正方形、列表解决） 15、尝试与猜测（鸡兔同笼、点阵中的规律，图表解决） 16、生活中的数（数据世界、数字用处、身份证） 17、看图找关系（足球场内声音、行为、成员间关系） 18、中位数和众数 19、成数、折数
20、因数、公因数、最大公因数
21、字母单位：m、dm、cm、mm、km；g、kg、t、L、ML 22、搭配的学问（两种物品以上） 23、比赛场次（循环赛）
24、组合图形面积（只限两个图形） 25、观察范围
26、方程（加减或乘除同一个数、等式性质）
《北师大版》比《人教版》删去知识
1、约数、公约数、最大公约数 2、互质数 3、分解质因数
4、用比例知识解应用题
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