全等三角形证明题(含答案解析版)

BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. (1)证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30°，求EF的长.

A41DE32FBCG

【解析】

（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，

21ABDA在△ABE和△DAF中，43，

∴△ABE≌△DAF.

（2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠1+∠4=90o ∵∠3=∠4, ∴∠1+∠3=90o ∴∠AFD=90o

在正方形ABCD中， AD∥BC, ∴∠1=∠AGB=30o

在Rt△ADF中，∠AFD=90o AD=2 ,

∴AF=

3 , DF =1,

由(1)得△ABE≌△ADF, ∴AE=DF=1,

∴EF=AF-AE=31.

2、如图，

ABAC,ADBC于点D，ADAE，AB平分DAE交DE于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．

【解析】

（1）△ADB≌△ADC、

△ABD≌△ABE、△AFD≌△AFE、△BFD≌△BFE、

△ABE≌△ACD（写出其中的三对即

可）.

（2）以△ADB≌ADC为例证明．

证明：

ADBC,ADBADC90°.

在Rt△ADB和Rt△ADC中，

ABAC,ADAD,  Rt△ADB≌Rt△ADC.

3、在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.

(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;

(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.

C

E F

B A 第22题图

【解析】

（1）∵∠ABC=90° ∴∠CBF=∠ABE=90°

在Rt△ABE和Rt△CBF中

∵AE=CF, AB=BC ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)

(2)∵AB=BC, ∠ABC=90° ∴ ∠CAB=∠ACB=45°

∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.

由（1）知 Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF=∠

BAE=15°

∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°

4、已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE,

求证：AE=BD．

题20图

【解析】

∵点C是线段AB的中点，

∴AC=BC， ∵∠ACD=∠BCE,

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,

即∠ACE=∠BCD,

ACBC在△ACE和△BCD中，ACEBCD，

CECD∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD.

5、如图10，已知

RtABCRtADE，

ABCADE90,

BC与DE相交于点F，连接CD,EB．

（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；

（2）求证：CFEF．

【解析】 1）ADCABE,CDFEBF

（2）证法一：连接CE

∵RtABCRtADE ∴ACAE

∴ACEAEC 又∵RtABCRtADE

∴ACBAED ∴

ACEACBAECAED

即BCEDEC

∴CFEF

证法二：∵RtABCRtADE

∴

ACAE,ADAB,CABEAD,

∴

CABDABEADDAB

即CADEAB

∴ACDAEB(SAS)

∴CDEB,ADCABE

又∵ADEABC

∴CDFEBF

又∵DFCBFE ∴CDFEBF(AAD)

∴CFEF

6、如图，点F是CD 的中点，且AF⊥CD，BC＝

ED，∠BCD＝∠EDC．

（1）求证：AB=AE；

（2）连接BE，请指出BE与AF、BE与CD分别有怎样的关系？

（只需写出结论，不必证明）． 【解析】

（1）证明：联结AC、AD

∵点F是CD 的中点，且AF⊥CD，∴AC=AD

∴∠ACD=∠ADC

∵∠BCD＝∠EDC

∴∠ACB＝∠ADE

（

∵BC=DE，AC=AD ∴△ABC≌△AED ∴AB=AE

（2）BE⊥AF,BE//CD,AF平分BE

7、如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F． (1)求证：OE=OF；

(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

ADOFEBM图1C

ADOMBCEF图2

【解析】

(1)证明：∵四边形ABCD是正方形．

∴BOE=AOF＝90．OB＝OA 又∵AM

BE，∴

MEA+

MAE＝

90=AFO+MAE

∴MEA＝AFO

∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ∴OE=OF (2)OE＝OF成立

证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BOE=AOF＝90．OB＝OA 又∵AM

BE，∴

F+

MBF＝

90=B+OBE 又∵MBF＝OBE ∴F＝E ∴Rt△BOE≌ Rt△AOF

∴OE=OF

8、如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边∆ABC

边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s， （1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的

过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时∆PBQ是直角三角形？

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在

射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

【解析】 （1）CMQ

当

PQB900时，B600,PB2BQ,得4t2t,t

当

43A P M A BPQ900时，B600,BQ2PQ,得2t2(4t),t2 ∴当第4秒或第2秒时，∆PBQ为直角三角形

M 31200不变。 C Q B Q 图1

C

（3）CMQB P 图2 等边三角形中，ABAC，BCAP600 ∴PBCACQ1200

BP=CQ，∴

600不变。

又由条件得

PBC≌

ACQ(SAS)

BPCMQC

又

0 ∴等边三角形中，ABAC，BCAP60

又由条件得

AP=BQ，∴

PCBMCQ

ABQ≌

∴CMQPBC1200

CAP(SAS)

∴BAQACP

∴

9、如图：ACB与DCE是全等的两个直角三角形，其中ACB=DCE=900，AC=4，BC=2，点D、C、B在同一条直线上，点E在边AC上.

（1）直线CMQACPCAMBAQCAMBAC600DE与AB有怎样的位置关系？请证明

（2）设时间为t，则AB=BQ=t，PB=4-t

你的结论；

（2）如图（1）若DCE沿着直线DB向右平移

多少距离时，点E恰好落在边AB上，求平移距离DD，；

（3）在DCE沿着直线DB向右平移的过程中，使DCE与ACB的公共部分是四边形，设平移

t2t2

192∴Stt2t

24∵0≤t≤2∴当t（3）存在．

21时，S的值最大． 2过程中的平移距离为x，这个四边形的面积为求

y，

设经过t秒时，NB=t，OM=2t 则CN3t，

y与x的函数关系式，并写出它的定义域.

A

A E AM42t ∴BCA=MAQ=45 A

①若AQME 90，则PQ是等腰E Rt△MQAD

【解析】

C

B D D

， 底边MA上的高 C （1）

∴

B D

PQ是底边

C

备用图 MA的

B 中

线

∴PQ∴1tAP1MA 211(42t)∴t 22∴点M的坐标为（1，0）

②若QMA90，此时QM与QP重合 ∴QM∴1tQPMA

解：（1）点 M

（2）经过t秒时，NBt，OM42t

2t 则

∴t1

CN3t，AM42t

∵BCA=MAQ=45 ∴QN∴

∴点M的坐标为（2，0）

10、如图，A,F,E,B四点共线，ACCE，

 CN 3t PQ 1 t BDDF，AEBF，ACBD。求证：

。E ACFBD∴

S△AMQ11AMPQ(42t)(1t)22

【解析】

【解析】

ACCE，BDDF

ACEBDF90

在RtACE与RtBDF中

AEBFACBD ∴RtACERtBDF(HL)

AB

AEBF

AEEFBFEF，即AFBE

在ACF与BDE中

AFBEAB ACBDACFBDE(SAS)

11、如图，D是ABC的边BC上的点，且

CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中线。

求证：AC2AE。

延长AE至点F，使EFAE，连接DF

在ABE与FDE中

AEFEAEBFED BEDEABEFDE(SAS) BEDF

ADFADBEDFADCBADB

又

ADBBAD

ADFADC

ABDF，ABCD

DFDC

在ADF与ADC中

ADADADFADC DFDCADFADC(SAS) AFAC

又

AF2AE

AC2AE。

，

12、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，

求证：AE=AD+BE

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ∵CE⊥AB

∴∠CEB＝∠CEF＝90° ∵EB＝EF，CE＝CE， ∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ∴∠D＝∠CFA

∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC ∵AC＝AC

∴△ADC≌△AFC（SAS） ∴AD＝

AF

∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

【解析】