⼏何经典难题
1、已知：如图，O 是半圆的圆⼼，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初三）2、已知：如图，P 是正⽅形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．
求证：△PBC 是正三⾓形．（初⼆）
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正⽅形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．
求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正⽅形．（初⼆）
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
5、已知：△ABC 中，H 为垂⼼（各边⾼线的交点）
（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初三）A P C D BA FG CE B O D D 2C 2 B 2 A 2D 1C 1B 1C B D
A A 1 B
F
6、设MN 是圆O 外⼀直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，⾃A
，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初三）
7、如果上题把直线MN 由圆外平移⾄圆内，则由此可得以下命题：
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初三8、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为⼀边，在△ABC 的外侧作正⽅形ACDE 和正⽅形CBFG ，点P是EF 的中点．
求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的⼀半．N
9、如图，四边形ABCD 为正⽅形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初⼆）
）10、如图，四边形ABCD 为正⽅形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．
11、设P 是正⽅形ABCD ⼀边BC
求证：PA ＝PF ．（初⼆）
12、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求
证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）E E P
13、已知：△ABC 是正三⾓形，P 是三⾓形内⼀点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初⼆）
14、设P 是平⾏四边形ABCD 内部的⼀点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初⼆）
15、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）
16、平⾏四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的⼀点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC．
17、设P 是边长为1的正△ABC 内任⼀点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．AP C B PA D CB CB D AFPDECBA
18、已知：P 是边长为1的正⽅形ABCD 内的⼀点，求PA ＋PB ＋PC 的最⼩值．
19、P 为正⽅形ABCD 内的⼀点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正⽅形的边长．
20、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．
CCD解答
1.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG, 即△GHF ∽△OGE,可得EO GF =GO GH =COCD
,⼜CO=EO ，所以CD=GF 得证。
2. 如下图做△DGC 使与△ADP 全等，可得△PDG 为等边△，从⽽可得 △DGC ≌△APD ≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG ＝150 所以∠DCP=300 ，从⽽得出△PBC 是正三⾓形
3.如下图连接BC 1和AB 1分别找其中点F,E.连接C 2F 与A 2E 并延长相交于Q 点， 连接EB 2并延长交C 2Q 于H 点，连接FB 2并延长交A 2Q 于G 点，
由A 2E=12A 1B 1=12B 1C 1= FB 2 ，EB 2=12AB=12BC=F C 1 ，⼜∠GFQ+∠Q=900和
∠GE B 2+∠Q=900,所以∠GE B 2=∠GFQ ⼜∠B 2FC 2=∠A 2EB 2 ， 可得△B 2FC 2≌△A 2EB 2 ，所以A 2B 2=B 2C 2 ， ⼜∠GFQ+∠HB 2F=900和∠GFQ=∠EB 2A 2 , 从⽽可得∠A 2B 2 C 2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等，从⽽得出四边形A 2B 2C 2D 2是正⽅形。
4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从⽽得出∠DEN＝∠F。
5.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,⼜∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,从⽽可得HD=DF，
⼜AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，从⽽可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。
6.证明：作E点关于GA 的对称点F，连FQ、FA，FC，∵OA⊥MN，EF⊥OA，
则有∠FAP=∠EAQ，∠EAP=∠FAQ，FA=EA，∵∠PAF=∠AFE=∠AEF=180-∠FCD，∵∠PAF=180-∠FAQ，∴∠FCD=∠FAQ，∴FCAQ四点共圆，∠AFQ=∠ACQ=∠BED，在△EPA和△FQA中∠PEA=∠QFAAF=AE∠PAE=∠QAF，
∴△EPA≌△FQA，∴AP=AQ．
7.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。由于22
AD AC CD FD FD AB AE BE BG BG ====，由此可得△ADF≌△ABG，从⽽可得∠AFC=∠AGE。
⼜因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，∠AOP=∠AOQ，从⽽可得AP=AQ。
8.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的⾼EG ，CI ，FH 。可得PQ=2EG FH
+。 由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI ，由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI 。 从⽽可得PQ=2AI BI += 2AB
，从⽽得证。
9.顺时针旋转△ADE ，到△ABG ，连接CG . 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从⽽可得B ，G ，D 在⼀条直线上，可得△AGB ≌△CGB 。 推出AE=AG=AC=GC ，可得△AGC 为等边三⾓形。∠AGB=300，既得∠EAC=300，从⽽可得∠A EC=750。 ⼜∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=CF 。
10.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正⽅形。由AC=CE=2GC=2CH，
可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，⼜∠FAE=900+450+150=1500，从⽽可知道∠F=150，从⽽得出AE=AF。
11.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正⽅形。令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。tan∠BAP=tan∠EPF=XY=ZY X Z-+
，可得YZ=XY-X2+XZ，
即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ，得到PA＝PF ，得证。
12.证明：作CQ⊥PD于Q，连接EO，EQ，EC，OF，QF，CF，所以PC2=PQ?PO（射影定理），⼜PC2=PE?PF，所以EFOQ四点共圆，∠EQF=∠EOF=2∠BAD，⼜∠PQE=∠OFE=∠OEF=∠OQF，⽽CQ⊥PD，所以∠EQC=∠FQC，因为∠AEC=∠PQC=90°，故B、E、C、Q四点共圆，
所以∠EBC=∠EQC=1/2∠EQF=1/2∠EOF=∠BAD，∴CB∥AD，
所以BO=DO，即四边形ABCD是平⾏四边形，∴AB=DC，BC=AD．
13.顺时针旋转△ABP 600，连接PQ ，则△PBQ是正三⾓形。可得△PQC是直⾓三⾓形。所以∠APB=1500。
14.作过P点平⾏于AD的直线，并选⼀点E，使AE∥DC，BE ∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：AEBP共圆（⼀边所对两⾓相等）。可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。
15.在BD 取⼀点E ，使∠BCE=∠ACD ，既得△BEC ∽△ADC ，可得：BE BC =AD AC
，即AD ?BC=BE ?AC ， ①
⼜∠ACB=∠DCE ，可得△ABC ∽△DEC ，既得AB AC =DEDC
，即AB ?CD=DE ?AC ， ② 由①+②可得: AB ?CD+AD ?BC=AC(BE+DE)= AC ·BD ，得证。
16.过D 作AQ ⊥AE ，AG ⊥CF ，由ADE S V =2ABCD
S Y =DFC S V ，可得：2AE PQ g =2AE PQ
g ，由AE=FC 。 可得DQ=DG ，可得∠DPA ＝∠DPC （⾓平分线逆定理）。
17.（1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三⾓形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最⼩只要AP ，PE ，EF 在⼀条直线上， 即如下图：可得最⼩L=；
（2）过P 点作BC 的平⾏线交AB,AC 与点D ，F 。 由于∠APD>∠ATP=∠ADP ，推出AD>AP ①
⼜BP+DP>BP ② 和PF+FC >PC ③ ⼜DF=AF ④
由①②③④可得：最⼤L< 2 ； 由（1）和（2）既得：≤L ＜2 。
18.顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三⾓形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最⼩只要AP ，PE ，EF 在⼀条直线上， 即如下图：可得最⼩PA+PB+PC=AF 。
既得213(1)42++ = 23+4232+ =2(31)2+= 231)2=62+ 。
19.顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图：
既得正⽅形边长L = 2222(2)()22a +
+ = 522a + 。
20.在AB上找⼀点F，使∠BCF=600，连接EF，DG，既得△BGC为等边三⾓形，
可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ，得到BE=CF ，FG=GE 。
推出：△FGE为等边三⾓形，可得∠AFE=800，
既得：∠DFG=400①⼜BD=BC=BG ，既得∠BGD=800，既得∠DGF=400②推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ，从⽽推得：∠FED=∠BED=300。
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