新教材高中数学必修1 第一章 集合与常用逻辑用语第一章 1.4.1

学习目标

1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充

分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．

知识点 充分条件与必要条件

推出关系 条件关系 “若p，则q”为真命题 p⇒q p是q的充分条件 q是p的必要条件 “若p，则q”为假命题 p⇏q p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系

判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 思考 若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？

答案 不唯一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“21．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件． 答案 必要

2．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件． 答案 充分

3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件． 答案 必要

解析 ∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p， ∴p是q的必要条件．

4．p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件． 答案 充分

一、充分条件的判断

例1 (1)下列命题中，p是q的充分条件的是________． ①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；

②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根． 答案 ③

解析 ①∵(x－2)(x－3)＝0， ∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0. ∴p不是q的充分条件．

②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件． ③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件． (2)“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的________条件． 答案 充分

解析 由a>2且b>2⇒a＋b>4，ab>4， ∴是充分条件．

反思感悟 充分条件的判断方法

(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．

(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． 跟踪训练1 “x>2”是“x2>4”的________条件． 答案 充分

解析 x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件． 二、必要条件的判断

例2 在以下各题中，分析p与q的关系： (1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5；

(2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 解 (1)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件．

反思感悟 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．

(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件．

跟踪训练2 分析下列各项中p与q的关系． (1)p：α为锐角，q：α＝45°. (2)p：(x＋1)(x－2)＝0，q：x＋1＝0.

解 (1)由于q⇒p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件． (2)由于q⇒p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件． 三、充分条件与必要条件的应用

例3 已知p：实数x满足3a解 p：3a3

a<02

所以a的取值范围是－≤a<0.

3延伸探究

1．将本例中条件p改为“实数x满足a0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．

解 p：a3，

所以a<－2，⇒a∈∅.

a>0

2．将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．

解 p：3a所以a≤0，⇒－1≤a<0.

a<0所以a的取值范围是－1≤a<0.

反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧

(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．

1．若p是q的充分条件，则q是p的( ) A．充分条件 B．必要条件

C．既不是充分条件也不是必要条件 D．既是充分条件又是必要条件 答案 B

解析 因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 2．下列命题中，p是q的充分条件的是( ) A．p：ab≠0，q：a≠0

B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0

C．p：x2>1，q：x>1 D．p：a>b，q：a>b 答案 A

解析 根据充分条件的概念逐一判断． 3．“同位角相等”是“两直线平行”的( ) A．充分条件 B．必要条件

C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不充分又不必要条件 答案 C

4．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________． 答案 a≤1

解析 因为x>1⇒x>a，所以a≤1.

5．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)． 答案 必要 充分

解析 由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．

1．知识清单：

(1)充分条件、必要条件的概念． (2)充分性、必要性的判断．

(3)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系． (4)充分条件与必要条件的应用． 2．常见误区：

充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值．

1．使x>3成立的一个充分条件是( ) A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2 答案 A

解析 只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3. 2．使x>1成立的一个必要条件是( ) A．x>0 B．x>3 C．x>2 D．x<2 答案 A

解析 只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出，故选A. 3．下列p是q的必要条件的是( ) A．p：a＝1，q：|a|＝1 B．p：－1D．p：a>b，q：a>b＋1 答案 D

解析 要满足p是q的必要条件，即q⇒p，只有q：a>b＋1⇒q：a－b>1⇒p：a>b，故选D. 4．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是( ) 11

A．若＝，则x＝y

xyC．若x＝y，则x＝y 答案 A

解析 B项中，x2＝1⇒x＝1或x＝－1；C项中，当x＝y<0时，x，y无意义；D项中，当xy2，所以B，C，D中p不是q的充分条件． 5．下列命题中，p是q的充分条件的是( ) A．p：a是无理数，q：a2是无理数

B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等 C．p：x>0，q：x≥1 D．p：a>b，q：ac2>bc2 答案 B

6．下列说法不正确的是________．(只填序号) ①“x>5”是“x>4”的充分条件；

②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件； ③“－2解析 ②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确．

7．条件p：5－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是__________． 答案 {a|a≤5}

解析 p：x>5，若p是q的充分条件，则p⇒q，也就是说，p对应集合是q对应集合的子集，所以a≤5. 8．下列式子：

①a<011

其中能使<成立的充分条件有______．(只填序号)

ab答案 ①②④

11

解析 当a<0ab11

当bab

B．若x2＝1，则x＝1 D．若x11

当b<0ba11

当0ab

11

所以能使<成立的充分条件有①②④.

ab9．指出下列各组命题中，p是q的什么条件： (1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC； (2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0； a

(3)p：ab

解 在(1)中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p既是q的充分条件，也是q的必要条件；

在(2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；

aa

在(3)中，当a＝－2，b＝－1时，＝2>1；当a＝2，b＝－1时，＝－2<1，所以p既不是q

bb的充分条件，也不是必要条件．

10．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？ 解 (1)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件，

m

x<－则只要x2⊆{x|x<－1或x>3}， 

m

即只需－≤－1，所以m≥2.

2

故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件．

m

x<－， (2)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆x2





这是不可能的．

故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件．

11．对任意实数a，b，c，下列命题中，真命题是( ) A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 答案 B

解析 “a＝b”⇒“a－b＝0”⇒“(a－b)c＝0”⇒“ac＝bc”，∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．

12．已知集合A＝{x∈R|－12 答案 A

解析 因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A， 所以A⊆B，所以3≤m＋1，即m≥2.

13．若A＝{x|a3}，且A是B的充分条件，则实数a的取值范围为_______________． 答案 {a|a≤－3，或a≥3} 解析 因为A是B的充分条件， 所以A⊆B，

又A＝{x|a3}． 因此a＋2≤－1或a≥3，

所以实数a的取值范围是{a|a≤－3，或a≥3}．

B．m≤2 D．－214．已知条件p：x<－1或x>3，条件q：x<－m＋1或x>m＋1(m>0)，若条件p是条件q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________． 答案 {m|0解析 由题意，设集合A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|<－m＋1或x>m＋1}， 因为条件p是条件q的充分不必要条件，即集合A是集合B的真子集，

－m＋1≥－1，－m＋1>－1，所以或解得m<2，

m＋1<3m＋1≤3，

又m>0，所以实数m的取值范围是015．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )

A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案 A

解析 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．

又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇏丙， 如图．

综上，有丙⇒甲，但甲⇏丙，

即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．

16．若p：－21

解 若a＝－1，b＝，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故p⇏q.

2若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x1，x2，且0所以p是q的必要条件，但不是充分条件．