定义 已知圆锥曲线 С: Ax +By +Cx+Dy+E=0与一点 P(x0,y 0) [ 其中 A +B x0+x ≠0,点． P．不．在．曲．线．中．心．和．渐．近．线．上． ]. 则称点 P 和直线 L: A?x0x+B?y0y+C? 2 +D?y 2+y+E=0是圆锥曲线 С的一对极点和极线
x0+x y0+y
即在圆锥曲线方程中 , 以 x0x 替换 x ， 以 2 替换 x，以 y0y 替换 y , 以 2 替 换 y 则可得到极点 P(x0,y 0) 的极线方程 L. 特别地：
(1) 对 于 圆 (x-a) +(y-b) =r , 与 点 P(x 0 ,y 0) 对 应 的 极 线 方 程 为 (x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r
；
x y x0x y0y
(2) 对于椭圆 + =1，与点 P(x0,y 0)对应的极线方程为 0 + 0 =1 ；
a b a b
x y x0x y0y
(3) 对于双曲线 a -b =1，与点 P(x0,y 0)对应的极线方程为 a0 -b0 =1 ；
(4) 对于抛物线 y =2px，与点 P(x0,y 0) 对应的极线方程为 y0y=p(x 0+x) ； 性质 一般地,有如下性质 [焦．点．所．在．区．域．为．曲．线．内．部． ]: ① 若极点 P在曲线С上,则极线 L是曲线С在P点的切线；
② 若极点 P在曲线С外,则极线 L是过极点 P作曲线С的两条切线的切点连线；
③ 若极点 P在曲线С内,则极线 L在曲线С外且与以极点 P为中点的弦平行 [仅是 斜率相 等 ]( 若是 圆 , 则此时中 点 弦的 方程 为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=
x0x y0y x0 y0
；若是椭圆,则此时中点弦的方程为 ax x+by y=xa +yb
(x 0-a) +(y 0-b) 若是
x0x y0y x0 y0
双曲线,则此时中点弦的方程为 ax0x-by0y=xa0 -yb0 ；若是抛物线 ,则此时中点弦的 方程为 y0y-p(x 0+x)=y 0 -2px 0) ；
④ 当 P(x0,y 0)为圆锥曲线的焦点 F(c,0) 时，极线恰为该圆锥曲线的准线．．； ⑤ 极点极线的对偶性 :
Ⅰ.已知点 P和直线 L是关于曲线 С的一对极点和极线 ,则L上任一点 Pn对应的 极线Ln必过点P,反之亦然,任意过点 P的直线Ln对应的极点 Pn必在直线 L上[图．
Ⅱ.过点P作曲线 C的两条割线 L1、 L2，L1交曲线 C于AB，L2交曲线 C于MN，则 直线 AM、BN的交点 T，直线 AN、BM的交点 S必都落在点 P 关于曲线 C的极线 L 上 [ 图．中．点． P．与．直．线．S．．T是．一．对．极．点．极．线．；．点． T．与．直．线．S．．P是．一．对．极．点．极．线． ] ；
Ⅲ. 点 P是曲线 C的极点，它对应的极线为 L，则有 :
1）若C为椭圆或双曲线，O是C的中心，直线 OP交C与R，交L于Q，则OP?OQ=OR
即
OP = OR OR OQ
如图
中学数学中极点与极线知识的现状与应用
虽然中学数学中没有提到极点极线 ,但事实上 ,它的身影随处可见 ,只是没有点破 而已.教材内改名换姓 ,“视”而不“见” .由④可知椭圆xa +yb =1的焦点的极 线方程为 : x= . 焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容 , 它揭示了圆锥曲线 c 的统一定义 , 更是高考的必考知识点 . 正是因为它太常见了 , 反而往往使我们 “视”而不“见” .
a
圆锥曲线基础必备
1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理
长轴=2“，短轴= 2b,焦距= 2c.则：a =b -^c
2221、准线方程准焦距.〃方、\"方涂以r
4.焦三角形计面积\"半角正切進乘
焦三角形：以椭圆的两个焦点巧・耳为顶点，另一个顶点」 在椭圆上的三角形称为焦三角形•半角是指—Z与P巧的一半. 则焦三角形的面积为： 证明：设阿| =小|昭| = S 由余弦定理:
m +n - 2mn cos^= 4c =4a
即：
艮卩：2D = (1+ -2mn - = 2mn - 4b , cos0)mn .
2222故: Sgf =-m n sin0 =-
』+ cos& l + cos0
・ 刁
又:
2sm —cos — sm 00 =tan _ 2 2 —
2..& 0 1 +cos0 2 cos —三、椭圆的相关公式 切线
平分焦周角, 切点连称为弦切角定理① 极线求方程, 弦与中线线屯理须牢记② 准线斜率积, 细看中点弦去除准焦距③ 恰似弦方程,
中点轨迹④
的焦点三角形的面积为S胚恶=b tail-.
2 & 所以：椭圆
1、 切线平分焦周角，称为弦切角定理
弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双 曲线的焦周角.
焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.
弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它 们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切 线是两个焦点弦的角平 分线.
第6页
2. 切点连线求方程，圾线定理须牢记
若旳（X05）在椭圆卡+$ = 1外，则过昨作椭圆的两 条切线，
切点、为P』,巧，则点耳和切点弦马•勺分别称 为椭圆的极点和极
线.
切点弦耳乃的直线方程即极线方程是
（称为极线定理）
笫？页
3、弦与中线斜■率积.准线去涂准焦距|
弦指椭圆内的一弦•中线指弦AB的中点M与 原点O的连线，即
2AB得中线•这两条直线的斜率的
V
Y - Q
2於
乘积，等于准线距离去除准焦^p= — .其
_ p 0M ==结杲是： T ~V k k第8页
4、细看中点弦方程，恰似弦中点、轨迹|
中点、弦AB的方程:在椭圆中，若弦的中点、为
弦仙称为中点弦，则中点弦的方程就是
是直线方程.
弦中点M的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点 p皿、m的弦
AB , 其中点、M的方程就是 S . yoy „ /( y . 一
7*+矿二正+歹，仍为椭圆.
这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞 混了.
第9页
2圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-双曲线
一、双曲线定义
双曲线有四定义.差比交线反比何
1、 定义1:（差）平面内，到两个定点唇码的距离之 差的绝对值
为定值2“（小于这两个定点间的距离冈砂） 的点的轨迹称为双曲线。定点、F”巧叫双曲线的|焦点、。 即：\\PF1-PF2\\=2a
2、 定义2：（比）平面内，到给定一点及一直线的距 离之比为定
值^>1的点的轨迹称为双曲线。定点叫双 曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线|。
3、 定义3:（交线）一平面裁一圆锥面，当载面与圆 锥面的母线
不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时， 交线称为|双曲线。
第io页
4■定义4：（反比例）在平面直角坐标系中，反比例函
k -----
数.^=-的图象称为双曲线
证明：反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到. 证明：因为X）^ = k的对称轴是y = X, y = -X,而
7 - 的对称轴是\"轴，丁轴，所以应该旋转45°.
设旋转的角度为ala*o、顺时针）（Q为双曲线渐进 线的倾斜角） 则有： X = x cos a+ y sin a, Y = -x sin a + y cos a
JV
cos 45° + y sin 45° x sin 45° - ycos 45° ] =f[(工+$)=E
而 = k ,所以，X-Y = 2xy= 2k
即：
22(k>0) Y X
(-药)(-2k)
22(k<0) 由此证得.反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只
不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.
笫II页
二.双曲线的性质定理
展本同椭圆，有所区别：
长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距.〃方、\"方涂以C② 通径等于2 ep.切线方程用代替③ 焦三角形计面积.半角余切连乘\"④ 第
12页
注解：
1. 长轴短轴与焦距：形似勾股弦定理
长轴=2“，短轴=2b ,焦距=2c,则：a + b = c
2222. 准线方程准焦距.〃方、\"方涂以£
a 准线方程：
x = ±
2— （。方除以。）
准焦距\"：焦点到准线的距离：P=— （D方除以c） C
护
3. 通径等于2 y切线方程用代替
双曲线的通径\"：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线 的两交点之间的距离成为双曲线的通径.（通径 ,, r b 2b a = 2ep= Z9 --- - --- ）
a c a
过双曲线上P0[x0,y0）点的切线方程，用打）等效代 替双曲线方程得到，等效代替后的是切线方程是:
22s yQy _ T
7 一歹\"
第13页
4、焦三角形计面积，半角余切连乘\"
焦三角形：以双曲线的两个焦蛊、甘2为顶点，另一个 顶点P在椭圖上的三角形称为焦三角形•半角是指 \"ZFf巧的一半.
X2
y2
双曲线p--p-= 2的左右焦点、分别
为巧卑，点P为双曲线上异于顶点任意 一点上巧刃“八则双曲线的焦点三角形
満足：啕I呵二苗
其面积为；SAF：PF} =〔Gt : 第14页
证明：设 卜力，\\m-n\\ = 2a
在AFf玛中，由余弦定理得：
P巧『+ |丹J-2『巧||刃讣0$“|巧杓
mu • siii 7
1 一 cos y
庆血y二方 1-cosy
即:in2 + n2 — Znui • cos y = 4c2 =4a2 + 4b2 = (jn 4b2
即：2〔/ = nni(l — cosy)
2b2
丁/
f2
即.mn
即.
那么，焦点三角形的面积为：\"•
7-cos7、叶•
故：SAF:PF:=於
£
同时:SAF3PF3 = T巧砂•叽| = \"4\"|,
£
b2 y
故：.rr=±— cot-
U曲线的焦点三角形的面积为：S卧p* = b2eot^
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n)2 + —
三、双曲线的相关公式
切线平分焦周角，称为弦切角定理① 切皮连线求方程，拔线定理须牢记② 弦与中线斜率积.准线去除准焦距③ 细看中点弦方程.恰似弦中点轨迹④ 第16页
1、切线平分焦周角，称为弦切甬定理
弦切角定理：切线平分双曲线焦周角的外角，平分双曲线 的焦周角.
焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角. 弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于 双曲线上时它们的夹角，当弦为焦点弦时 （过焦点的弦），那么切线是两个焦、点弦的 角平分线.
如图，^FJPF2是焦点三角形，牛PF?为焦周角，PT为双曲线 的切线.则刃平分今啓・
第I?页
1、切点连线求方程.极线定理须牢记
若曲（叼.力）在双曲线刍冷=1外，以包含焦点的区域为内，不 包含焦点的区域为外，则过必作双曲 选的两条切线，切点为丹、鸟，则点马 和切点、弦丹七分别称为双曲线的极点、 和极线，切点弦丹鸟的直线方程即极 线方程是迸一驾7 （称为圾线定理）
A2 M
第18页
3、弦与中线斜■率积，准线去涂准焦距
弦指双曲线内的一弦曲・中线指弦曲的 中点M与原点。的连线，即KOAB得中线.这 两条直线的斜
率的乘积，等于准线距器
xtf=-去除准焦距p=匚，其结果是:
c C 第19页
4、细看中点弦方程.恰似弦中点轨迹
中点弦.JB的方程：在双曲线中，若弦曲的中点为M（KJO）, 称弦为中点弦、则中点、弦的方程就是：
它是直线方程.
弦中点M的轨迹方程：在双曲线中，过双曲线外一点 &（叽“）的弦AB ,其.JB中点M的方程就是：
xox yoy x2 y2
7 ------- =7一戸，仍为双曲线.
这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不妾搞混了.
第2D页
圖锥曲线必背口诀（红字为口诀）-抛物线
一.抛物线定义
抛物线，有定义，定点定线等距离
1、 到一个定点和一条定直线距离相等得点、的轨迹称为迪鱼送 2、 二次函数的图象是|抛物线|・
第21页
二、抛物线性质
焦点准线极点线①，两臂相乘积不变② 焦弦切线成直角， 端点切点就是两端点③ 连投影在准线， 焦弦垂直结焦点垂直线④ 切线极焦线⑤, 直角梯形对角线, 焦弦三角计面积,
是角平分线⑥ 焦点就是本原点⑦ 半个卫方除正弦⑧
第22页
注解：
1、I焦点准线极点线I
抛物线的焦点和准线是一对极点和极线.
抛物线方程：X = 2px .焦点F(2),准线\"=-刍 抛物线的顶点0(0.0)到定点,◎和定直线卩=_吕 距离相等.
焦弦：过焦点的直线与拋物线相交于两点.4和B , 则称为焦弦.
弦中点 ，•畑),M ° \" , y'M =匕牛^ 焦弦方程：严心-£), *为斜率.
第23页
X= A2
2、|两臂相乘积不变
焦点三角形两边和|OB|的乘积为定值，且夹角 是钝角.
证明：焦弦满足的条件
[y2 =饷
p =>以叶分=2声
，=W)
2
=> k2x2 -(k2 + 2)px + ^— = 0
由韦达定理得：XAXB =.
XAXB = -Q疋T.』2py：B = -2pjs =-2p・£ = _p'
厶
p2 2 即：XAXB=^- )\\4)3=~1^
① -- ----- 3 2 且：OA-OB = (xA,yA)-(xB,yB) = xAxB ^yAyB =~~P 4
故：焦点三角形两边之乘积为定值.
第24页
.
3、焦弦切线成直角，切点就是两端点 即：焦弦两端点的
切线互相垂直.
证明：如图，由拋物线方程: y = 22Px,得到导数：yy = P
1
即:
SASA > B =)2 ^AE • “BE — —将①式XAXB ~1代入上式得：
1
即：4E丄BE ,故焦弦端点在准线的投影点与焦 点构成直角三角形.
第25页
p 于是：AE'BE=Y^~ y kk2
4. |端点投影在准线，连结焦点垂直线 即：焦弦端点在
准线的投影点与焦点构成直角 三角形. 证明：坐标。(-弓,ys), Q(-~ 则：CF = (p.-ys), DF = (p-yA) 于是：CFDF = p-yAyB 将①式J/打代入上式得:
2CF~DF = O,故：CF LDF 即：焦弦端点丄B在准线的投影点D.C ,则 市丄莎，即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成 直角三角形.
第26页
5. 焦弦垂直极焦线
若焦弦丄B对应的极点则EF为极焦线，于 是EF丄AB
用向量方法可证.
由于M是的中点，^4EB为直角三角形，计 算可得E是DC的中点，
故：|妙| = |眄=冈
由向量法可证丽•乔=〃
即：焦弦口创与极焦线|EF|互相垂直.
笫2?页
6、|切线是角平分线
即：切线平分焦弦的倾角（或倾角的外角） 如图：因为2DE和\\AFE 都是直角三角形， 且由定义知：
\\AF\\ = \\AD\\. \\AE\\ = \\AE\\ 故 AADE 竺 MFE、 则对应角相等.
即：AE是ZDAF的角平分线 同理，
EE是ZCEF的角平分线
第28页
7、|直角梯形对角线，焦点就是本原点 即：直角梯形对
角线相交于原点 即：A.O.C三点共线；BOD三点共线.
用向量法证明：OA//CO. OB//DO 证明：坐标出令，儿），B（晋,片），
Q（-吕'J8）、 D（-£,片）
▲
石
向量：如=（器，Jl）, CO =（£‘-JS） 各分量之比：
_ Z _
（£ik=2£ = d ?f）y 二厂二 必
（COh £ P2 ' （cd）y -yB -yAyB
将①式XAXB = -P：代入上式得：
（CO）, -MS P2
» （OA）x （OA）y OA
——一
故：芮忌'即：
OA co
同理：OB//DO.直角梯形/BCD对角线相交 第29页
.
于原点
8、|焦弦三角计面积，半个\"方除正弦 即：
焦弦三角形的面积为：bAOB =
（a为焦弦的倾角） 证明：\\AB\\=[4F\\+\\BF
如图：\\GF\\=2\\OF\\=p
EF siii a1GF a siii aP sin \\EM\\ = 则： sin，a
S于是:
故: 5韵OF|⑷丽“冥•誌沁s
第30页
2 sin a
附：圆锥曲线必背 ------ 极坐标
一.极坐标通式
圆锥曲线的极坐标以准焦距\"和离心率e来表 示常量，以极径P和极角&来表示变量.
P\"、&曰〃,36〃°）
以焦点F（o、e）为极点（原点o）,以椭圆长轴、 拋物线对称轴、双曲线的实轴为极轴的建立极坐标 系.故准线是到极点距离为准焦距\"且垂直于极轴 的直线「 极坐标系与直角坐标系的换算关系是：
V
0 = aictan —
或者：x = pcos0 , y = sin0 特别注意：极坐标系中，以焦点为极点（原点）， 而直角坐标系中以对称点为原点得到标准方程.
第31页
如图，O为极点，Z为准线，则依据定5G 到定点(极点)和到 定直线(准线)的距离之比为定值(定值e)的点的轨迹为圆锥 曲线.所以，对极坐标系，请记住：
(1) 极坐标系的极点O是楠圆的左焦点、抛扬线的焦点、双曲 线的右
焦点；
(2) 曲线上的点P(p®到焦点F的距离是P，到准线的距离是 p+ pros 0
根据定义：Q云加 即：ep+apcosQ= p
即：《\"= p-epcQsO 即：P=7^6①
这就是极坐标下，圆锥曲线的 通式.
(3)对应不同的匕，呈现不同的曲线.
—殳；对抛物线，开口向右.
对双曲线、只是右边的
第32页
二、极轴旋转\"0。
将极轴旋转180° , a和0分别对应变换前后的极 角，即
转角为e=Eso°,则极坐标方程变换前方程
ep
为.p= ----- -- J • 7-^cosa
变换后方程为:
ep
p- ----- ②
1 + 0COS 0
此时的极坐标系下, 有：
(1)极坐标系的极点o是椭圆的右焦点、抛物线的 焦
点、双曲线的左焦点；
(2)对应不同的幺，呈现不同的曲线.对双曲线, 只是左
边的一支；对抛物线，开口向左.
第33页
三、I极轴旋转财
⑴将极轴顺时针旋转 9护、即：0= «+ 90° ,则情况
如图.
圆锥曲线的方程为：
此时的极坐标系下:
对应于直角坐标系下， 焦点在J•轴的情况，且极点
O对应于椭圆下方的焦点,
双曲线上方的焦点，抛
物线的焦点.
对双曲线，只是丁轴上边的一支；对抛物线，开 口向上.
笫34页
⑵如果将极轴逆时针旋转，即：&=a—90。，则情 况如图.
圆锥曲线的方程为：
ep — p = ------ ③
1 + ^siiia 7 此时的极坐标系下：
对应于直角坐标系下，焦 点在y轴的情况，且对应于椭 圆上方的焦点，双曲线下方 的焦
点，抛物线的焦点.
对双曲线，只是j•轴下边的一支；对抛物线，开口 向下・
第35页
四.坐标变换
⑴在极坐标系中，圆锥曲线的通式为:
l-ecos0
即： p-epcosff = ep , 即：/?= ep + epcos0 即： / =（印+
2
2= e22p ^-e （pcos0） +2epipCQSO） ②
222将p =X +y2 , Pcos0 = X代入②式得：
当心7时：
d-e）[^-2-^-X + （-^-）] + / = ep +（』_/）（空V
1-e 1-e 1-e 2
222即：（』一/）（乂 一上2）2十尹2之2 2（” 厶_）=兰q. 1-e 21-e^ 1-e 2（1-e） 1-e 222
⑴当0 V』时:
(x-c) y ■
代入④式得：—^—+万=⑤
这是标准的橢圆方程.
(2)当 F > Z 时:
(A+D r *
代入④式得：一p # =丄 这是标准的双曲线方程.
⑶当0=7时、由③式得：-2 px+ y 『=2］心 + y)
■
即：•宀如+些
⑦
这是标准的抛物线方程.
⑥
y2 = 2px 即：+
五.圆锥曲线性质的极坐标的表示 ⑴准线方程 对于通式:
p=~^- 1-ecosO
焦点即是极点（原点）.准焦距即焦 点到准线的距离0,就是极点（原点） 到准线的距离.于是在极坐标下的准线 方程为：pcosO = -p ②
⑵长轴（实轴）短轴（虚轴）焦距
对于椭圆和双曲线，在四、I坐标变换I一节中已经提到.
1＞当时，即是椭圖
)
则长轴为：短轴为:
2a =
\"P
焦距为：~~2
1-e 2＞当时、即是双曲线
则长轴为：2“ =芒
短轴为：2b=2a&2_l = 焦距为：
2
&2_ 1
3＞当“z时，即是抛物线.
抛物线的焦距定义为焦点到顶点的距离.
很据定义，抛物线的顶点到焦点和准线的距离是相等的, 故其焦距为：f = \\OF\\ = ^~
2
切线平分焦周角Z $7近、的外角ZZ7迟
极点极线例题
Oale
• D *1駝.就-（佔加5%'如）-人5%） ■沐二。 「 乂直R仏％AO*由漁％知L 3ns曲i）mG 松亠沢略 。 一 ％二肮张二倫甌i 补 a癡（不条述絆肛姒李月敘汝％那币招m次汝入於瞬w i \"乐域.灣夕必轴须拿才勻血％%次區知加仏£ ：；： 卩心,,力円必川・）龙双翰娱上不冏创画彳讪匕
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/妇：泓厶枷辛孑R R，皱曲岌鼻碾北* 血 _ 屣即弩“泊豹必护尢,由和H站愀U-..］七 木第腰鳞MR碑阀三2（k旳丄的士灯一 ' ' R占乙上，天入许当扌务二Z丹力线人二鹿 A戎二：由詁隸枚.汉P.（九玄）.R（%』,） 匚 ”\%”）,氏人对叙磁为「* _Z ••」：垮对骅丨居婪叱L又屮 舟。，乂卩血
上，丟询:二I瞬御 ・：厶；为％ +务S二'，4 第沪扁•人吹3 C 去法土：厶上0零知U改过H他娥L*轴人勾E联支些「 3綁（址W咄入卅十。曲△二伐心（乍霁XA'T）：谢、 -珀十2-0 i
辅厂俅'很』^2\"业」警訣山 ■ 忆虹二-琴屮，劝衣 h谒 ”获.S样..
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心当卫玮勺4B冃星时.彖沁cf-oS为吏位. 二 c o O o c o
角一:⑴於跌毁厶、&料卜沁徨.如I眩舷魯出/血⑷ 一知徨劳沪QO' o G 0 G
八*〜d） 、、W O o- o c 一血念⑴细療越缶灶:些弋二| . G c o o '今玄-「•沒仏Q G仇和俣联,“强細1 A 以P关率肉
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U用\\育1\\刁，冲贰二沐二I虢位
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3汉伽］
准线方程：x =—（。方除以“）
0
C
准焦距\"：焦点到准线的距离：p = - （D方除以C） C
3.通径等于2 ep.切线方程用代替
補圆的通径\"：过焦点垂直于长轴的直线与補圆的两 交点之间的距离成为椭圆的通径.（通径 d = 2ep = 2 -）
a c a
过椭圆上%如点、的切线方程，用（％,如等效代替椭圆得到.
方程0
等效代替后的是切线方程是：
+ 1
--------- a b
0
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