2015-2016学年辽宁省锦州市下学期高二期末考试市区统考试卷 数学(理)

高二数学（理）

注意事项：

1.本试卷备有答题卡，请在答题卡上作答。

2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。试卷满分150分，考试时间120分钟。 3.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） （1）已知i是虚数单位，则复数z2i43i在复平面内对应的点所在的象限为 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

（2）已知集合M1,(m23m1)(m25m6)i，其中i是虚数单位，N1,3，

MN1,3，则实数m的值为

（A）4

（B）－1 （C）4或－1 （D）1或6

（3）(2x5y)n展开式中第k项的二项式系数为

（A）Ckknkn （B）Cn25k

（C）Ck1k1n1kn （D）Cn25k1

4）设函数f(x)(xR)为奇函数，f(1)12,f(x2)f(x)f(2)，则f(3) （A）13 （B）32 （C）1 （D）2

5）下列值等于1的是

（A）

110xdx

（B）0(x1)dx

（C）1101dx

（D）102dx （6）“因对数函数ylogax是增函数(大前提)，而ylog1x是对数函数(小前提)，所以

3ylog1x是增函数(结论)．

”上面推理错误的是 3（A）大前提错导致结论错 （B）小前提错导致结论错 （C）推理形式错导致结论错

（D）大前提和小前提都错导致结论错

（7）已知函数f(x)(xa)(xb)(其中ab）的图象如图所示，则函数g(x)axb的图象是

y

-11

yyOxyy页

1第 1111OxOxOxOx（（

（8）某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表

男生 女生 总计 认为作业量大 18 8 26 认为作业量不大 9 15 24 总计 27 23 50 则推断“学生的性别与认为作业量大有关”的把握大约为

（A）99% （B）95% （C）90% （D）不确定

n(n11n22n12n21)2附： .

n1n2n1n22独立性检验临界值表 ）

P(χ2≥k) K 0.05 3.841 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 （9）下列命题中，正确的命题个数是

①用相关系数r来判断两个变量的相关性时，r越接近0，说明两个变量有较强的相关性； ②将一组数据中的每个数据都加上同一个非零常数后，期望改变,方差不变； ③某厂生产的零件外直径x~N(3,1),且p(2x4)0.68，则p(x4)0.84 ④用数学归纳法证明不等式

11113(n2,nN*)的过程中，由nk 递推到n1n22n14nk1时不等式的左边增加项为11

2k12k2 （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

（10）甲，乙，丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为

“甲独自去一个景点”，则概率P(AB)等于 421

（A） （B） （C）

992

1

（D） 3

（11）从1，2，3，4，9，18六个数中任取两个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，得到不同的对

数值有

（A）21 （B）20 （C）19 （D）17 （12）已知函数f(x)lnxtan(0则的取值范围为

页

2)的导函数为f(x)，若方程f(x)f(x)的根x0小于1，

2第

（A）(,) （B）(0,) （C）(,) （D）(0,) 423644第Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分.共20分.)

（13）如果质点M按规律s3t2运动，则在一小段时间[2 , 2.1]中相应的平均速度是______. （14）用反证法证明命题“若a2b20，则a,b全为0 (a,b为实数)”，其反设为________. （15）设aZ，且0a13，若512016a能被13整除，则a＝________.

（16）已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)2f()x1，则f(x)＝________. 三．解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) （17）（本小题满分10分）

已知i是虚数单位，z1xyi(x,yR)，且x2y21,z2(34i)z1(34i)z1.

1x(I) 求证：z2R； (II)求z2的最大值和最小值.

（18）（本小题满分12分）

某公司在甲，乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2 和L22x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？

（19）（本小题满分12分）

已知ab0，求证：(ab)abab(ab).

228a28b（20）（本小题满分12分）

设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．

(I) 求进入商场的1位顾客购买甲，乙两种商品中的一种的概率； (II)求进入商场的1位顾客至少购买甲，乙两种商品中的一种概率；

(III)用表示进入商场的3位顾客中至少购买甲，乙两种商品中的一种的人数，求的分布列． （21）（本小题满分12分）

对于函数f(x)若存在x0R，f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知

f(x)ax2(b1)xb1(a0)

（I） 当a1,b2时，求函数f(x）的不动点；

（II） 若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

(III)在（II）的条件下，若y=f(x)图象上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于直线ykx12a12对称，求b的最小值．

（22）（本小题满分12分）

页

3第

12ax(2a1)x2lnx(aR). 2（I）若曲线y=f(x)在x1和x3处的切线互相平行，求a的值；

已知函数f(x)（II）求f(x)的单调区间；

(III)设g(x)x22x，若对任意x1(0,2，均存在x2(0,2,使得f(x1)g(x2)， 求a的取值范围．

2015~2016学年度第二学期期末考试评分标准及参考答案

高二数学（理）

一、选择题：DBCBC A ABCC DA 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

21

（13）4.1 （14）a，b不全为0 （15）12 （16）x＋. 33三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分10分）

(1)证明 ∵z1＝x＋yi，－z1＝x－yi(x，y∈R)， ∴z1＋－z1＝2x，z1－－z1＝2yi. ∴z2＝(3＋4i)z1＋(3－4i)－z1， ＝3(z1＋－z1)＋4i(z1－－z1)．

＝6x＋8yi2＝(6x－8y)∈R. ...................................5分 (2)解 ∵x2＋y2＝1，

设u＝6x－8y，代入x2＋y2＝1消去y得 64x2＋(6x－u)2＝64. ∴100x2－12ux＋u2－64＝0. ∵x∈R，∴Δ≥0.

∴144u2－4×100(u2－64)≥0. ∴u2－100≤0. ∴－10≤u≤10.

∴z2的最大值是10，最小值是－10. ...................................10分

（18）（本小题满分12分）

解 设在甲地销售m辆车，在乙地销售(15－m)辆车，

页

4第

则总利润y＝5.06m－0.15m2＋2(15－m)＝－0.15m2＋3.06m＋30，

...................................3分

所以y′＝－0.3m＋3.06.

令y′＝0，得m＝10.2. ...................................5分 当0≤m<10.2时，y′>0； 当10.2故当m＝10.2时，y取得极大值，也就是最大值...................................10分 又由于m为正整数， 且当m＝10时，y＝45.6； 当m＝11时，y＝45.51.

故该公司获得的最大利润为45.6万元．...................................12分

（19）（本小题满分12分）

a－b2a＋ba－b2

已知a>b>0，求证：<－ab<. 8a28b[证明] 要证明原不等式成立， a－b2a－b2

只需证4a4b

2

a－b22a－b即证<(a－b)<. ...................................3分 4a4b

因为a>b>0，所以a－b>0，a－b>0.

a－ba－b所以只需证2a2b即证即证a＋ba＋b<2<， abbaba

<1<，即证<1<. ...................................10分

ababba

因为a>b>0，所以<1<成立．

ab

故原不等式成立． ...................................12分

（20）（本小题满分12分）

解： 记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．

(1)C＝A·B＋A·B.

P(C)＝P(A·B＋A·B)＝P(A·B)＋P(A·B)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6

页

5第

＝0.5. ...................................4分 (2)D＝A·B，

P(D)＝P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.4＝0.2，

P(D)＝1－P(D)＝0.8. ...............................8分

(3)ξ～B(3,0.8)，故ξ的分布列为

P(ξ＝0)＝0.23＝0.008，

2

P(ξ＝1)＝C13×0.8×0.2＝0.096， 2P(ξ＝2)＝C23×0.8×0.2＝0.384，

P(ξ＝3)＝0.83＝0.512.

ξ的分布列为

ξ 0 1 0.096 2 0.384 3 0.512 P 0.008 ...............................12分

（21）（本小题满分12分）

解：（1）a1,b2时，f(x)x2x3，

f(x)xx22x30x1,x3

函数f(x)的不动点为－1和3； ..............4分

2（2）即f(x)ax(b1)xb1x有两个不等实根，转化为axbxb10有两个不等实

2根，需有判别式大于0恒成立 即

b24a(b1)0(4a)244a00a1，a的取值范围为

0a1； ..............8分

b（3）设A(x1,x1),B(x2,x2)，则x1x2，

axx2x1x2bb,)，即M(,) A，B的中点M的坐标为(1222a2a1A、B两点关于直线ykx2对称，

2a1又因为A，B在直线yx上，

1k1，A，B的中点M在直线ykx2上.

2a1bb1a1， 2212a2a2a12a12aa页 6第

利用基本不等式可得当且仅当a（22）（本小题满分12分）

12时，b的最小值为. ..............12分 2222解：（1）由题，f(x)ax(2a1)，

xf(1)f(3)，a2a123a2a12， 3解得a2. „„„„„„„„„„„2分 3ax2(2a1)x2(x2)(ax1)（2）由题，f(x)， xx2x<1>当a0时，f(x)，

xf(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，+).

<2>当a0时，令f(x)0，得x110，x22， af(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，+).

10，x22， a<3>当a0时，令f(x)0，得x1①当

112，即a时，f(x)…0对x0恒成立， a2)，无减区间； f(x)的单调递增区间为(0，112，即0a时，

2a②当

11f(x)的单调递增区间为(0，2)和(，)，单调递减区间为(2，)；

aa③当

112，即a时， a211)，单调递减区间为(，f(x)的单调递增区间为(0，)和(2，2)；„„„„„„„7分

aa2]， （3）由题，f(x)maxg(x)max，xä(0，2]恒成立. g(x)maxg(2)0，f(x)max0对xä(0，由（2）知， ①当a„

1

2]上单调递增， 时，f(x)在(0，2

f(x)maxf(2)2a22ln20，解得aln21， ln21a„1.

②当a111时，f(x)在(0，)上单调递增，在(，2)上单调递减， 2aa1a111， f(x)maxf()(2a1)2lna2a2aa页 7第

211， 2lna2(1lna)2a2aaa1111，lnalnln1，f()0，即f(x)max0，

2ea21符合题意. 2). „„„„„„„„„„„„12分 综上所述：实数a的取值范围为(ln21，

页 8第