平面图形与其直观图的面积关系及其应用

山东省济宁市实验中学（272023） 陈辉 刘粉

新课标对学生作图能力的要求明显加强，因此，探究平面图形的直观图的性质很有必

要．若记平面内的封闭图形为F，在这个平面内建立直角坐标系后，按照斜二测画法（“横不变、纵减半、角45”）画出这个图形的直观图F与原图形F比较，形状有明显不同，并且由于图形在直角坐标系中的位置不同，得到相应的直观图的形状也可能不同．那么不同形状的直观图，它们的面积是否相等？倘若相等，那么它们的面积与原图形的面积有没有一定的比例关系？这就是本文予以解决的． 1 平面图形与其直观图的面积关系

Y1.1 三角形与其直观图的面积关系

EC(1)若ABC的一边AB与X轴平行，如图1，则

由斜二侧画法可作出其直观图ABC．由作法可得

1BDAODOD,ADAD,ABAB, 2O 1DEDE,CECEY' 2

则其直观图ABC的高为 C'E'XhDEsin4512DEsin45DE 24D'OA'B'X'图1SABC1122ABhABDESABC 2244YC(2)若ABC的任意一边不与X轴平行，如图2，则过点

A作X轴的平行线AD，交BC于点D，则由1可知

SABCSABDSACD22SABDSACD44

22(SABDSACD)SABC44ADBOX图2由(1)、(2)可知，任意三角形的直观图的面积是原三角形面积的

22SABC （*） 倍，即SABC441.2 多边形M与其直观图M的面积关系

任意多边形M可以分割为若干个三角形，不妨设为n个，并设其面积分别为

S1,S2,,Sn，则由（*）式得其直观图M的面积为

1

S多边形MS1S2Sn222S1S2Sn 444

2(S1S2Sn)4S多边形M由上可知，任意多边形的直观图的面积是原多边形面积的

2倍，即4S多边形M2S多边形M4

1.3 曲边形N与其直观图N的面积关系

(1)若曲边形N为凸曲边形，如图3，设A1,A2,,An为其边缘的n等分点，连接

A1A2,A2A3,,An1An,AnA1，

的

再

面

连积

接为

A1A3,A1A4,A1An1,，

设设

A1A2A3,A1A3A4,,A1An1AnS1,S2,,Sn2A1A2A3,A1A3A4,,A1An1An的直观图A1A2A3,A1A3A4,,A1An1An的面

积分别为S1,S2,,Sn2，则

An-1AnS曲边形Nlim(S1S2Sn2)nAiAi-1

A1A2A3A422S1S2=lim(44n2Sn2) 4图3limn2(S1S24Sn2) =

2S曲边形N 42倍，4(2)若曲边形N为凹曲边形，则将其分割若干个凸曲边形，证法同2． 由上可知，任意曲边形的直观图的面积是原曲边形面积的

S曲边形N2S曲边形N4

综上所述：任意平面图形的直观图的面积是原平面图形面积的

2倍，即4 2

S平面图形F2S平面图形F

42 平面图形与其直观图面积关系的应用

例1 利用斜二侧画法画出一个平面图形的直观图是边长为1的正方形（如图4），则这个平面图形的面积为_______________．

Y'解：因为 S2S 又S1 4O'X'所以，这个平面图形的面积为 S22S22．

例2 利用斜二侧画法画出一个周长为4的矩形的直观图，则此直观图的面积的最大值为_______________．

解：设矩形的两邻边长分别为x、2x，则此直观图的面积的为

图4S222x2x22Sx(2x)() 444242． 4即此直观图的面积的最大值为

显然，利用此结直接接题比利用基本方法（斜二测画法画图）高效的多！

作者简介：

陈辉：男，山东泰安人，山东省济宁市实验中学二级教师。 刘粉：女，山东济宁人，山东省济宁市实验中学二级教师。 通讯地址：山东省济宁市实验中学高一数学组 邮编：272023

Email: *****************

3