北京市中考数学试卷及答案

数 学 试 卷

1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共8页．全卷共九道大

考 生 须

题，25道小题．

2．本试卷满分120分，考试时间120分钟．

3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写区（县）名称、毕业学4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

知： 校、姓名、报名号和准考证号．

第Ⅰ卷（机读卷 共32分）

考 生 须 知：

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）

．．

下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．

1．6的绝对值等于（ ） A．6

B．

1．第Ⅰ卷从第1页到第2页，共2页，共一道大题，8道小题． 2．考生须将所选选项按要求填涂在答题卡上，在试卷上作答无效．

1 6C．1 6D．6

2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（ ） A．0.21610

5

B．21.610

3

C．2.1610

3

D．2.1610

43．若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（ ） A．内切

B．相交

C．外切

D．外离

4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．50，20

B．50，30

C．50，50

D．135，50

5．若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（ ） A．5

B．6

C．7

D．8

6．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（ ） A．

1 5B．

2 5C．

1 2D．

3 57．若

x2y30，则xy的值为（ ）

B．6

C．5

D．6

A．8

8．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧

面展开图是（ ）

O

O O 年北京市高级中等学校招生考试O 2008 P P P M

A．

考 生

P O

P M

M

数 学 试 卷 B

M M

CD．

． 第Ⅱ卷（非机读卷 共88分） ．

1．第Ⅱ卷从第1页到第8页，共8页，共八道大题，17道小题．

须 知： 2．除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔或签字笔． 二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．在函数

y1中，自变量x的取值范围是 ． 2x132A D B

E C

10．分解因式：aab ．

11．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点， 若DE2cm，则BC cm．

b2b5b8b1112．一组按规律排列的式子：，3，3，4，…（ab0），其中第7个式子是 ，第

aaaan个式子是 （n为正整数）．

三、解答题（共5道小题，共25分） 13．（本小题满分5分）

10计算：82sin45(2)．

3解：

14．（本小题满分5分）

解不等式5x12≤2(4x3)，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：

15．（本小题满分5分） 求证：ACCD． 证明：

16．（本小题满分5分）

B

0 1 2 3 已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧．AB∥ED，ABCE，BCED．

A C E

1如图，已知直线ykx3经过点M，求此直线与x轴，y轴的交点坐标． 解：

17．（本小题满分5分） 已知x3y0，求解：

四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分）

D y M O 1 1 x 2xy(xy)的值． 22x2xyy如图，在梯形的长． 解：

ABCD中，AD∥BC，ABAC，B45，AD2，BC42，求DCA D

19．（本小题满分5分）

已知：如图，在Rt△ABC中，C90，点O在

B O为圆心，OA长为半径的圆与C AB上，以AC，AB分别交于点D，E，且CBDA．

（1）判断直线BD与O的位置关系，并证明你的结论； （2）若AD:AO8:5，BC2，求BD的长．

解：（1） （2）

五、解答题（本题满分6分）

A

D C B

E O 20．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：

“限塑令”实施后，使用各种

“限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表 “限塑令”实施前，平均一次购物使用购物袋的人数分布统计图

．．处理方式 直接丢弃 直接做垃圾袋 再次购物使用 其它

不同数量塑料购物袋的人数统计图 其它 选该项的人数占 人数／位 5% 5% 35% 49% 11% 收费塑料购物袋 总人数的百分比 _______％ 40 37 请你根据以上信息解答下列问题： 35 30 押金式环保袋（1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一26 25 24% 次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？ 20 ．．．．．．．．．．．15 11 （2）补全图2，并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能9 10 4 5 对环境保护带来积极的影响． 3 自备袋 0 1 1）2 7 塑料袋数／个 解：（ 3 4 5 6 46%

图2 图1 （2） 六、解答题（共2道小题，共9分）

21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：

京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？ 解：

22．（本小题满分4分）

ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DG∥BC交AC于点

G．DEBC于点E，过点G作GFBC于点F，把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图1所示方式折叠，点A，B，C分别落在点A，B，C处．若点A，B，C在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我们称△ABC（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．

已知等边三角形纸片

A （1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），

D G 点A2所示，请直接写出此时重叠三角形ABC的面，B，C，D恰好落在网格图中的格点上．如图D G 积；

B

E

F 图1

B E 图2

F C C

A （2）实验探究：设

AD的长为m，若重叠三角形ABC存在．试用含m的代数式表示重叠三角形

ABC的面积，并写出m的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．

A A 解：（1）重叠三角形ABC的面积为 ； 七、解答题（本题满分7分） （2）用含m的代数式表示重叠三角形ABC的面积为 ；m的取值范围为 ．

mxm23．已知：关于x的一元二次方程C(3CB B x2m20( m2) 0)． 备用图 备用图

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1x2）．若求这个函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m． （1）证明： （2）解：

y （3）解： 4 八、解答题（本题满分7分） 3 2 2x轴交于A，B两点24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线yxbxc与1 （点A在点B的左侧），

x -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 1 与y轴交于点C，点B的坐标为(3，沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过0)，将直线ykx--2 -3 B，C两点．

-4 （1）求直线BC及抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且APDACB，求点P的坐标；

y （3）连结CD，求OCA与OCD两角和的度数． 解：（1） （2） （3）

九、解答题（本题满分8分） 25．请阅读下列材料：

4 3 2 1 2y是关于m的函数，且yx22x1，

x -2 -1 O 1 2 3 4 问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中-1 点，连结PG，PC．若ABCBEF60-2 ，探究PG与PC的位置关系及PG的值． PC小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

C D

D 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： C

P PGF （1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及P 的值； G

G PCF

B 的对角线A E A 绕点B顺时针旋转，使菱形（2）将图1中的菱形BEFGBEFGBF恰好与菱形ABCD的边

B

（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变图1 图2 E

写出你的猜想并加以证明．

（3）若图1中ABCBEF2(090)，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原

PG的值（用含的式子表示）． PCPG解：（1）线段PG与PC的位置关系是 ； ．

PC问题中的其他条件不变，请你直接写出（2）

2008年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷答案及评分参考

阅卷须知：

1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名． 2．第Ⅰ卷是选择题，机读阅卷．

3．第Ⅱ卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

第Ⅰ卷 （机读卷 共32分）

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 题号 答案

1 A

2 D

3 C

4 C

5 B

6 B

7 B

8 D

第Ⅱ卷 （非机读卷 共88分）

二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）

题号 答案

9

10

11 4

12

三、解答题（共5道小题，共25分） 13．（本小题满分5分）

10解：82sin45(2π)

3222213 ······················································································· 4分 2122． ······································································································ 5分

14．（本小题满分5分）

解：去括号，得5x12≤8x6． ········································································ 1分 移项，得5x8x≤612． ·············································································· 2分 合并，得3x≤6． ··························································································· 3分 系数化为1，得x≥2． ····················································································· 4分 不等式的解集在数轴上表示如下：

······················································································································· 5分

0 1 2 3 15．（本小题满分5分）

AB∥ED，

································································································· 2分 BE． ·

在△ABC和△CED中，

······················································································ 4分 △ABC≌△CED． ·

································································································· 5分 ACCD． ·

证明：

16．（本小题满分5分）

解：由图象可知，点M(2，················································ 1分 1)在直线ykx3上， ·

2k31．

解得k2． ··································································································· 2分

直线的解析式为y2x3． ················· 3分

令y0，可得x3． 23直线与x轴的交点坐标为，0． ··································································· 4分

2令x0，可得y3．

直线与y轴的交点坐标为(0，···································································· 5分 3)． ·

17．（本小题满分5分） 解：

2xy(xy) 22x2xyy2xy(xy) ···························································································· 2分

(xy)22xy． ······································································································ 3分 xy当x3y0时，x3y． ················································································· 4分

原式6yy7y7． ·················································································· 5分

3yy2y2四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分）

解法一：如图1，分别过点A，D作AEBC于点E， ······································· 1分 DFBC于点F． ·AE∥DF． 又AD∥BC，

四边形AEFD是矩形．

A D

EFAD2． ······································· 2分

B E F

图1

C

ABAC，B45，BC42， ABAC．

1AEECBC22．

2DFAE22，

CFECEF2 ························································································ 4分

在Rt△DFC中，DFC90，

············································· 5分 DCDF2CF2(22)2(2)210． ·

解法二：如图2，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．························ 1分

ABAC，

AEDBAC90．

A E B F

图2

C D

AD∥BC，

DAE180BBAC45．

在Rt△ABC中，BAC90，B45，BC42，

ACBCsin454224 ··································································· 2分 2在Rt△ADE中，AED90，DAE45，AD2，

DEAE1．

···················································································· 4分 CEACAE3． ·

在Rt△DEC中，CED90，

·························································· 5分 DCDE2CE2123210． ·19． （本小题满分5分）

·········································································· 1分 O相切． ·

证明：如图1，连结OD． OAOD， AADO． 解：（1）直线BD与

C90， CBDCDB90．

又

C D A

B

图1 CBDA，

ADOCDB90． ODB90．

O E 直线BD与O相切． ····················································································· 2分 （2）解法一：如图1，连结DE．

AE是O的直径， ADE90．

AD:AO8:5，

AD4························································································ 3分 cosA． ·

AE5C90，CBDA，

cosCBDBC4················································································ 4分 ． ·

BD55········································································ 5分 BC2， BD． ·21解法二：如图2，过点O作OHAD于点H． AHDHA．D

2AD:AO8:5，

C AH4···················· 3分 cosA． ·

AO5D C90，CBDA，

A

H B

O BC4································· 4分 cosCBD． ·

BD5图2 BC2，

5···································································································· 5分 BD． ·2五、解答题（本题满分6分）

解：（1）补全图1见下图． ················································································· 1分

“限塑令”实施前，平均一次购物使用9137226311不同数量塑料4105．．4购物袋的人数统计图637300

3（个）．

人数／位 100100这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个． ······································ 3分

40 37 200036000． 35 30 26 估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋． ·············································· 4分 25 （2）图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为··································· 5分 25%． ·20 15 11 10 根据图表回答正确给1分，例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少9 10 4 3 5 用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献．6分 0 六、解答题（共2道小题，共9分）1 2 3 4 5 6 7 塑料袋数／个

图1 x千米，则由天津返回北京的平均速度是每21．解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时

小时(x40)千米． ··························································································· 1分

3061x(x40)． ······································································· 3分 602解得x200． ·································································································· 4分

依题意，得

答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米． ··································· 5分 22．解：（1）重叠三角形ABC的面积为3． ····················································· 1分

（2）用含m的代数式表示重叠三角形ABC的面积为3(4m)； ·························· 2分

28m的取值范围为≤m4． ··············································································· 4分

3七、解答题（本题满分7分） 23．（1）证明：

mx2(3m2)x2m20是关于x的一元二次方程，

[(3m2)]24m(2m2)m24m4(m2)2．

当m0时，(m2)0，即0．

2方程有两个不相等的实数根． ············································································· 2分

(3m2)(m2)（2）解：由求根公式，得x．

2m2m2或x1．······················································································ 3分 xmm0，

2m22(m1)1．

mmx1x2，

2m2． ··················································································· 4分 m2m22yx22x121．

mm2y 即y(m0)为所求． ·························· 5分

4 mx11，x2（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出

y2(m0)与y2m(m0)的图象． m3 2 1 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x ································································ 6分 由图象可得，当m≥1时，y≤2m． ············· 7分 八、解答题（本题满分7分） 24．解：（1）

ykx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，

C(0，3)．

设直线BC的解析式为ykx3．

B(3，0)在直线BC上，

3k30． 解得k1．

直线BC的解析式为yx3． ······································································ 1分

抛物线yxbxc过点B，C，

2b4，解得

c3．抛物线的解析式为yx24x3． ··································································· 2分

（2）由yx4x3． 可得D(2，1)，A(1，0)．

2y 4 3 C 2 1 -2 -1 O -1 -2 图1 A P E B 1 2 F 3 4 D x

OB3，OC3，OA1，AB2． 可得△OBC是等腰直角三角形．

OBC45，CB32．

如图1，设抛物线对称轴与x轴交于点F，

AF1AB1． 2过点A作AEBC于点E．

AEB90．

可得BEAE2，CE22．

在△AEC与△AFP中，AECAFP90，ACEAPF，

△AEC∽△AFP．

222AECE，． 1PFAFPF解得PF2．

点P在抛物线的对称轴上，

点P的坐标为(2，2)或(2，2)． ········································································ 5分

，0)关于（3）解法一：如图2，作点A(1连结AC，AD，

0)． y轴的对称点A，则A(1，可得ACAC10，OCAOCA． 由勾股定理可得CD20，AD10． 又AC10，

222y 4 3 C 2 1 A B 1 2 F 3 4 D 图2

x

ADACCD．

222-1 O -1 -2 △ADC是等腰直角三角形，CAD90，

DCA45．

OCAOCD45． OCAOCD45．

即OCA与OCD两角和的度数为45． ····························································· 7分

y 解法二：如图3，连结BD． 同解法一可得CD20，AC10．

4 3 C 2 1 -2 -1 O -1 -2 A B 1 2 F 3 4 D 图3

x

在Rt△DBF中，DFB90，BFDF1，

DBDFBF2．

在△CBD和△COA中，

22DB2BC32CD202，2，2． AO1OC3CA10DBBCCD． AOOCCA△CBD∽△COA． BCDOCA． OCB45，

OCAOCD45．

即OCA与OCD两角和的度数为45． ····························································· 7分 九、解答题（本题满分8分）

25．解：（1）线段PG与PC的位置关系是PGPC；

PG···································································································· 2分 3． ·

PC（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．

证明：如图，延长GP交AD于点H，连结CH，CG．

P是线段DF的中点， FPDP．

由题意可知AD∥FG． GFPHDP．

GPFHPD， △GFP≌△HDP．

GPHP，GFHD． 四边形ABCD是菱形，

CDCB，HDCABC60．

D H

A

P

C

G

B

E

F

由ABCBEF60，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形上，

可得GBC60．

ABCD的边AB在同一条直线

HDCGBC． 四边形BEFG是菱形， GFGB． HDGB． △HDC≌△GBC．

CHCG，DCHBCG．

DCHHCBBCGHCB120．

即HCG120．

CHCG，PHPG，

PGPC，GCPHCP60．

PG································································································· 6分 3． ·

PCPG（3）················································································ 8分 tan(90)．·

PC