2013-2014学年度东莞市高一数学期末复习资料

1．下列表示图形中的阴影部分的是（ ） A．(AC)(BC) B．(AB)(AC) C．(AB)(BC) D．(AB)C

题型2：集合的运算

A B

C 例1．若集合A{1,1}，B{x|mx1}，且ABA，则m的值为（ ） A．1 B．1 C．1或1 D．1或1或0

例2. 已知A{x2x5}，B{xm1x2m1}，BA,求m的取值范围。 变式：

2221．设A{xx4x0},B{xx2(a1)xa10},其中xR,如果ABB，求

实数a的取值范围。 2.函数

题型1.函数的概念和解析式

例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）

(x3)(x5)，y2x5；

x3⑵y1x1x1，y2(x1)(x1)；

⑴y1⑶f(x)x，g(x)⑷f(x)3x2；

x4x3，F(x)x3x1；

⑸f1(x)(2x5)2，f2(x)2x5。

A．⑴、⑵ B．⑵、⑶ C．⑷ D．⑶、⑸

x2(x1)例2．已知f(x)x2(1x2)，若f(x)3，则x的值是（ ）

2x(x2)A．1 B．1或

33 C．1，或3 D．3 222例3．已知f(1x)1x2，则f(x)的解析式为（ ）

1x1xA．

x2x2xx B． C． D． 1x21x21x21x2变式：

1x211．已知g(x)12x,f[g(x)]，那么(x0)f()等于（ ）

2x2A． 15 B．1 C．3 D．30

2.x1,x2是关于x的一元二次方程x2(m1)xm10的两个实根，又yx1x2，求

222yf(m)的解析式及此函数的定义域。

3x24(x0)3.若函数f(x)(x0)，则f(f(0))= ．

0(x0)题型2 定义域和值域

例1．已知函数y定义域是[的定义域是（ ） 2，3]，则yf(x1)f(2x1)A．[0，] B. [1，4] C. [5，5] D. [3，7]

例2 （1）函数y2x4x的值域是（ ）

A．[2,2] B．[1,2] C．[0,2] D．[2,2]

22xx(0x3)（2）函数f(x)2的值域是（ ）

x6x(2x0)252A．R B．9, C．8,1 D．9,1 例3若函数yx3x4的定义域为[0,m],值域为[（ ）

A．0,4 B．[，4] C．[， ）3] D．[，

题型3 函数的基本性质 一．函数的单调性与最值

例1．已知函数f(x)x2ax2,x5,5.

2225，4]，则m的取值范围是4323232① 当a1时，求函数的最大值和最小值；

② 求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数。

变式：

1．若函数f(x)axb2在x0,上为增函数,则实数a,b的取值范围是 。

2．已知yx2(a2)x5在区间(4,)上是增函数，则a的范围是（ ） A.a2 B.a2 C.a6 D.a6

二、函数的奇偶性

21f(x)a例题1：.已知函数 是奇函数，则常数a

4x1

例题2：.已知函数f(x)axbx3ab是偶函数，定义域为a1,2a，

2则f(0) ( )

1B. 2C. 1 D. -1 A.

3353例题3．已知f(x)xaxbx2,且f(5)17，则f(5)的值为( ) A．－13 B．13 C．－19 D．19

练习．

1、已知f(x)ax5bx3cx5(a,b,c是常数)，且f(5)9，则f(5)的值为 ．

2、已知f(x)为R上的奇函数，且x0时f(x)2x4x1，则f(1)____ __

例题5：若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R,有f(x1x2)f(x1)f(x2)1， 下列说法一定正确的是（）

A、f(x)是奇函数 B、f(x)是偶函数 C f(x)+1是奇函数 D、f(x)+1是偶函数 练习：已知函数yf(x)的定义域为R，且对任意a,bR，都有f(ab)f(a)f(b)，

2求证：（1）函数yf(x)是奇函数．（2）函数是减函数

函数的单调性

证明函数单调性的步骤：

第一步：设x1、x2∈给定区间，且x1第二步：计算f(x1)－f(x2)至最简； 第三步：判断差的符号； 第四步：下结论.

例题1. 函数yx2bxc(x(,1))是单调函数时，b的取值范围

A．b2 B．b2 C ．b2 D． b2

2（ ）.

（1）若函数yx(2a1)x1在区间（－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )

A．[－

3，+∞） B．（－∞，－3522]

C．[2，+∞） D．（－∞，52] （2） 在区间(,0)上为增函数的是（ ）

A．y2x B．y2x C．y|x| D．yx2

例题2： 已知f(x)是定义在(1,1)上的减函数，且f(2a)f(a3)0. 求实数a的取值范围.

练习：已知函数fx为R上的减函数，则满足f1xf1的实数x的取值范围是（ ）

A.1,1 B.0,1 C.1,00,1 D.,11, 例题3．已知定义域为,00,的偶函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式xf(x)0的解集为 ．

练习：（1）已知定义在R上的偶函数f(x)在,0上是减函数，若f(12)0，则不等

f(log4x)0的解集是 （2）设f(x)是奇函数，且在(0,)内是增函数，又f(3)0，则xf(x)0的解集是（A、x|3x0或x3 B、x|x3或0x3 C、x|x3或x3 D、x|3x0或0x3

px2练习：已知函数f(x)25q3x是奇函数，且f(2)3.

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）判断函数f(x)在(0,1)上的单调性，并加以证明． 应用题

1．某市出租车的计价标准是：3 km以内(含3 km)10元；超过3 km但不超过18 km的部分1元/km；超出18 km的部分2元/km.

(1)如果某人乘车行驶了20 km，他要付多少车费？某人乘车行驶了x km，他要付多少车费？ (2)如果某人付了22元的车费，他乘车行驶了多远？

）

2．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

3．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)x2

之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210

5吨．

(1)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

立体几何中直观图的画法（斜二侧画法规则）： 在画直观图时，要注意：

（1）使xoy135，xoy所确定的平面表示水平平面。 （2）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于y轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半。

如（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（ ）

0（2）已知正ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为_____

立体几何证明思路

一、线线平行的证明方法

1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。 2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A ，过a的平面B与平面A相交于b ，则 a//b。

3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b 。

4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线 a与直线 b，则a//b 。

二、线面平行的证明方法

1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。

2、根据线面平行的判定定理，若平面 A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a//A 。 (用相似三角形或平行四边形)

3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。

三、面面平行的证明方法

1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。

2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。 或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。

3、垂直同一直线的两平面平行。 4、平行同一平面的两平面平行。

四、两直线垂直的证明方法

1、根据定义,证明两直线所成的角为90°

2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条. 3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.

4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).

五、线面垂直的证明方法

1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面. 2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面. 3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.

4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.

5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

六、面面垂直的证明方法

1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。 2、根据面面垂直的判定定理，一平面经过另一平面的一条垂线，则两平面垂直。 3、一平面垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个。

七、两异面直线所成角的求法

1、根据定义，平移其中一条和另一条相交，然后在三角形中求角。

2、利用中位线，将两异面直线平移至一特殊点（中位线的交点）然后在三角形中求角。

直线与方程

题型一：直线的倾斜与斜率问题

例1 已知坐标平面内三点A(1,1),B(1,1),C(2,31).

（1）求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角.

（2）若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率为k的变化范围. 由题目可获取以下主要信息：（1）A、B、C三点的坐标已知.（2）直线CD经过线段AB上的某个动点.（3）求斜率及变化范围.

解答本题可借助图形，第（1）问利用斜率公式求斜率，由斜率与倾斜角的关系求倾斜角. 第（2）问可借助图形直观观察得直线CD斜率k的取值范围. 解：（1）由斜率公式得 kAB110,kBC1(1)3113.

21kAC311300.在区间0,180范围内.

2(1)3 tan000,AB的倾斜角为00. tan6003,BC的倾斜角为600.

y 3 C A D B tan3003,AC的倾斜角为300. 3-1 O 1 2 x

如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为

3,3. 3数形结合运动变化是解决数学问题的常用思想方法和观点.当直线绕定点由与x轴平行（或重合）位置按逆时针方向旋转到与y轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐增大到（即斜率不存在）；按顺时针方向旋转到与y轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐减少到（即斜率不存在）.这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围.

题型二：直线的平行与垂直问题

例2 已知直线l的方程为3x4y120，求直线l的方程, l满足 （1）过点(1,3)，且与l平行；（2）过(1,3)，且与l垂直.

解答本题可先求出l的斜率，然后又平行（垂直）的条件得所求直线的斜率，再由点斜式写方程；也可由两直线平行（垂直）的方程特征，设出方程，再由待定系数法求解.

33x3,l的斜率为. 443（1）由l与l平行，l的斜率为.又l过(1,3)，由点斜式知方程为

43y3(x1),即3x4y90.

444（2）由l与l垂直，l的斜率为，又过(1,3)，由点斜式可得方程为y3(x1)，

33解：由题设l的方程可化为y即4x3y130.

【规律总结】与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxByC10，再由其他条件列方程求出C1；与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAyC20，再由其他条件求出C2.

题型三：直线的交点、距离问题

例3 已知直线l经过点A(2,4),且被平行直线l1:xy10与l2:xy10所截得的线段的中点M在直线xy30上，求直线l的方程.

【审题】已知直线l过点A(2,4),要求直线l的方程，只需求另外一点或直线l的斜率即可. 解：点M在直线xy30上，设点M的坐标为(t,3t).又点M到l1,l2的距离相等，即

t(3t)12t(3t)12，解得t333.M(,).

22233x22,即5xy60. 又l经过点A(2,4)，由两点式得

334222y【规律总结】解此类题目常用的方法是待定系数法，然后由题意列出方程求参数；也可综合

应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线的特征，然后由已知条件写出

直线的方程.

题型四：直线方程的应用

例4 已知直线l:5ax5ya30.

（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； （2）为使直线不经过第二象限，求a的取值范围. 【审题要津】解答本题可先将一般式方程化为点斜式方程，然后指明直线恒过第一象限内的某点可证得第一问；第二问可先画出草图，借助图形，然后用“数形结合”法求得. 解：将直线l的方程整理为y3113a(x)，l的斜率为，且过定点A(,)， 5555而点A(,)在第一象限，故不论a为何值， l 恒过第一象限.

135530（2）直线OA的斜率为k53.要使l不经过第二象限，需它在y轴上的截距不大于

105a3零，即令x0时，y0,a3.

5【规律总结】含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，这里对一般式灵活变形后发现问题是解决问题的关键，在变形后特点还不明显的情况，可研究直线过定点.