扎兰屯市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）

A． B． C．

D．

2． 设F1，F2为椭圆（ ） A．

B．

C．

=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为

D．

3． 已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（ ） A．m＞2

B．m＞4

﹣或

C．m＞6

D．m＞8

4． 已知双曲线的方程为A．

B．

C．

=1，则双曲线的离心率为（ ） D．

或

的定义域为（ ）

5． 函数A．{x|1＜x≤4}

B．{x|1＜x≤4，且x≠2}

C．{x|1≤x≤4，且x≠2} D．{x|x≥4}

6． 由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中每个数据都小于﹣1，则样本1，x1，﹣x2，x3，﹣x4，x5的中位数为（ ） A．

B．

C．D．

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7． 若直线l:ykx1与曲线C：f(x)x1A．－1 B．

1没有公共点，则实数k的最大值为（ ） xe1 C．1 D．3 2【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．

1x3}，则AB（ ） 21 A．(0,3] B．(1,2] C．(1,3] D．[,1]

28． 已知集合A{x| lgx0}，B={x|【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识，意在考查基本运算能力． 9． 若向量（1，0，x）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为，则x为（ ） A．0

B．1

C．﹣1

D．2

10．数列{an}满足a1=3，an﹣an•an+1=1，An表示{an}前n项之积，则A2016的值为（ ） A．﹣ B．

C．﹣1 D．1

11．已知函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），则{an}的前28项之和S28=（ ） A．7

B．14

C．28

D．56

12．自圆C：(x3)2(y4)24外一点P(x,y)引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（ ）

A．8x6y210 B．8x6y210 C．6x8y210 D．6x8y210

【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．

二、填空题

13．已知偶函数f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（﹣1）= ． 14．在（x2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ． 15．△ABC中，

16．已知Sn是数列{___________．

【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题，意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力．

，BC=3，

，则∠C=

．

nn}|1｜S的前项和，若不等式对一切nN恒成立，则的取值范围是nnn1n122第 2 页，共 17 页

17．已知函数f（x）=围是 ．

，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范

18．自圆C：(x3)2(y4)24外一点P(x,y)引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则PQ的最小值为（ ） A．

1321 B．3 C．4 D． 1010【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．

三、解答题

19．如图所示，在正方体ABCDA1BC11D1中． （1）求AC11与B1C所成角的大小；

EF所成角的大小． （2）若E、F分别为AB、AD的中点，求AC11与

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为菱形，E、P、Q分别是棱AD、SC、AB的中点，且SE平面ABCD.

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（1）求证：PQ//平面SAD； （2）求证：平面SAC平面SEQ.

21．某校举办学生综合素质大赛，对该校学生进行综合素质测试，学校对测试成绩（10分制）大于或等于7.5的学生颁发荣誉证书，现从A和B两班中各随机抽5名学生进行抽查，其成绩记录如下： A 7 7 7.5 9 9.5 B 6 x 8.5 8.5 y 由于表格被污损，数据x，y看不清，统计人员只记得x＜y，且A和B两班被抽查的5名学生成绩的平均值相等，方差也相等．

（Ⅰ）若从B班被抽查的5名学生中任抽取2名学生，求被抽取2学生成绩都颁发了荣誉证书的概率； （Ⅱ）从被抽查的10名任取3名，X表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数，求X的期望．

22．【镇江2018届高三10月月考文科】已知函数（1）当（2）当（3）当

时，求函数时，如果函数

的单调区间；

；

不存在极值点，求的取值范围.

时，解关于的不等式

，其中实数为常数，为自然对数的底数.

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23．在平面直角坐标系xOy中，经过点P和Q．

且斜率为k的直线l与椭圆

与

共线？

有两个不同的交点

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

24．已知（

+）n展开式中的所有二项式系数和为512，

（1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中所有项的系数之和．

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扎兰屯市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

2|x|

【解析】解：∵f（x）=y=2x﹣e， 2|x|2|x|

∴f（﹣x）=2（﹣x）﹣e﹣=2x﹣e，

故函数为偶函数，

当x=±2时，y=8﹣e∈（0，1），故排除A，B；

2

2x

当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x﹣e， x

∴f′（x）=4x﹣e=0有解，

2|x|

故函数y=2x﹣e在[0，2]不是单调的，故排除C，

故选：D

2． 【答案】C

【解析】解：F1，F2为椭圆

=1的两个焦点，可得F1（﹣

，0），F2（

）．a=2，b=1．

点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，PF1⊥F1F2， |PF2|=

=，由勾股定理可得：|PF1|=

=．

==．

故选：C．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．

3． 【答案】C

2

【解析】解：由f′（x）=3x﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去） ∵函数的定义域为[0，2]

∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0， 则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m 由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①； 由①②得到m＞6为所求． 故选C

f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②

∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，

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【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值

4． 【答案】C

=1，

【解析】解：双曲线的方程为﹣

222

焦点坐标在x轴时，a=m，b=2m，c=3m，

离心率e=．

222

焦点坐标在y轴时，a=﹣2m，b=﹣m，c=﹣3m，

离心率e=故选：C．

=．

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．

5． 【答案】B

【解析】解：要使函数有意义，只须

，

即，

解得1＜x≤4且x≠2，

∴函数f（x）的定义域为{x|1＜x≤4且x≠2}．

故选B

6． 【答案】C

【解析】解：因为x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜﹣1，题目中数据共有六个，排序后为x1＜x3＜x5＜1＜﹣x4＜﹣x2，

故中位数是按从小到大排列后第三，第四两个数的平均数作为中位数， 故这组数据的中位数是（x5+1）． 故选：C．

【点评】注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．

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7． 【答案】C

1，则直线l：ykx1与曲线C：yfx没有公共点，xe11等价于方程gx0在R上没有实数解．假设k1，此时g010，g10．又函1k1ek1数gx的图象连续不断，由零点存在定理，可知gx0在R上至少有一解，与“方程gx0在R上没

【解析】令gxfxkx11kx有实数解”矛盾，故k1．又k1时,gx为1，故选C．

8． 【答案】D

【解析】由已知得A={x0，∴1+x=

，解得x=0

10,知方程gx0在R上没有实数解，所以k的最大值ex12【解析】解：由题意=故选A

【点评】本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，考查根据公式建立方程求解未知数，是向量中的基本题型，此类题直接考查公式的记忆与对概念的理解，正确利用概念与公式解题是此类题的特点．

10．【答案】D

【解析】解：∵a1=3，an﹣an•an+1=1， ∴…

∴数列{an}是以3为周期的周期数列，且a1a2a3=﹣1， ∵2016=3×672，

672

∴A2016 =（﹣1）=1．

，得，，a4=3，

故选：D．

11．【答案】C 数．

【解析】解：∵函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函∴函数f（x）关于直线x=1对称，

∵数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），

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∴a6+a23=2．

=14（a6+a23）=28．

则{an}的前28项之和S28=故选：C．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式、函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题．

12．【答案】D

【解析】由切线性质知PQCQ，所以PQ2PC2QC2，则由PQPO(x3)2(y4)24x2y2，化简得6x8y210，即点P的轨迹方程，故选D， 二、填空题

13．【答案】 1 ．

【解析】解：f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（1）=f（5）=1， f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=1． 故答案为：1．

14．【答案】 84 ．

【解析】解：（x2﹣）9

的二项展开式的通项公式为 Tr+1=

•（﹣1）r•x18﹣3r，

令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T7===84，

故答案为：84．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．

15．【答案】

【解析】解：由，a=BC=3，c=，

根据正弦定理

=得：

sinC==，

又C为三角形的内角，且c＜a， ∴0＜∠C＜，

则∠C=

．

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得，

，故答案为：

【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．

16．【答案】31

111111132(n1)n2nn1，Sn122…22222221111111n2n2(n1)n1nn，两式相减，得Sn12n1nn2n，所以Sn4n1，

2222222222｜4n1对一切nN恒成立，得|1｜2，解得31． 于是由不等式|12【解析】由Sn1217．【答案】 （0，1） ．

【解析】解：画出函数f（x）的图象，如图示：

令y=k，由图象可以读出：0＜k＜1时，y=k和f（x）有3个交点， 即方程f（x）=k有三个不同的实根， 故答案为（0，1）．

【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．

18．【答案】D 【

解

析

】

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三、解答题

19．【答案】（1）60；（2）90． 【解析】

试

题解析：（1）连接AC，AB1，由ABCDA1BC11D1是正方体，知AAC11C为平行四边形，

AC所成的角就是AC所以AC//AC11，从而B1C与11与B1C所成的角．

由AB1ACB1C可知B1CA60， 即AC11与BC所成的角为60．

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考点：异面直线的所成的角．

【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中涉及到异面直线所成角的概念、三角形中位线与正方形的性质、正方体的结构特征等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，本题的解答中根据异面直线所成角的概念确定异面直线所成的角是解答的关键，属于中档试题．

20．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】

试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ与平面内的直线平行，则线面平行，所以取SD中点F，连结AF,PF，可证明PQ//AF，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先证明线面垂直，根据所给的条件证明AC平面SEQ，即平面SAC平面SEQ. 试题解析：证明：（1）取SD中点F，连结AF,PF. ∵P、F分别是棱SC、SD的中点，∴FP//CD，且FP∵在菱形ABCD中，Q是AB的中点，

1CD. 21CD，即FP//AQ且FPAQ. 2∴AQPF为平行四边形，则PQ//AF.

∴AQ//CD，且AQ∵PQ平面SAD，AF平面SAD，∴PQ//平面SAD.

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考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.

【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直， 需熟练掌握判定定理以及性质定理. 21．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）∵=（6+x+8.5+8.5+y）， ∵∵

=∵

22

，得（x﹣8）+（y﹣8）=1，②

（7+7+7.5+9+9.5）=8，

，∴x+y=17，①

，

，

由①②解得或，

∵x＜y，∴x=8，y=9，

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记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C，则事件C包含共有∴P（C）=

个基本事件，

，

个基本事件，

即2名学生颁发了荣誉证书的概率为．

（Ⅱ）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3， P（X=0）=P（X=1）=

=

， =

，

P（X=2）==，

P（X=3）=EX=

=，

=

．

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平均值和方差的计算和应用．

22．【答案】（1）单调递增区间为【解析】试题分析：把

；单调递减区间为

，，函数 ．（2）

（3），所以函数化为，分

不存在极值点，只需

和

，两种情

代入由于对数的真数为正数，函数定义域为

求导后在定义域下研究函数的单调性给出单调区间；代入况解不等式；当试题解析：

时，

，求导

恒成立，根据这个要求得出的范围.

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（2）当记当所以当

时，在时，

时，原不等式可化为

，则，

单调递增，又

，故不等式解为

；

，显然不成立，

． ．

． ，

时，原不等式可化为

综上，原不等式的解集为

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23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为代入椭圆方程得整理得

． ①

，

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△= 解得

或

．即k的取值范围为

．

，

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（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由方程①，又而所以

与

共线等价于

． ，

将②③代入上式，解得由（Ⅰ）知

或

． ② ． ③

．

，

，

故没有符合题意的常数k．

【点评】本题主要考查直线和椭圆相交的性质，2个向量共线的条件，体现了转化的数学而思想，属于中档题．24．【答案】

+）n，所有二项式系数和为2n=512，

=C9r2r

﹣r=0，得r=3，

，

【解析】解：（1）对（解得n=9；

设Tr+1为常数项，则： Tr+1=C9r由

33

∴常数项为：C92=672； 99

（2）令x=1，得（1+2）=3．

【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题，是基础题．

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