数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A＝{x|﹣3＜x≤1}，B＝{x|﹣5≤x＜0}，则A∩B＝（ ） A．[﹣5，﹣3）
B．（﹣3，0）
C．（0，1] ，则tanα＝（ ）
C．
D．﹣
，c＝
，
D．[﹣5，﹣1]
2．已知α是第四象限角，且sinα＝﹣A．
B．﹣
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B＝135°，b＝则a＝（ ） A．2
B．
C．3
＝λ
D．2+μ
4．已知A（﹣1，4），B（2，1），O是坐标原点，点P满足则点P的轨迹方程为（ ） A．x﹣y＝1 5．函数y＝
B．x﹣y＝2 的大致图象为（ ）
C．x+y＝3
，且λ+μ＝2，
D．x+y＝6
A．
B．
C．
D．
6．函数f（x）＝cosx▪sin（x+A．x＝kπ+C．x＝kπ+
（k∈Z） （k∈Z）
）的对称轴方程为（ ）
B．x＝kπ﹣D．x＝kπ﹣
（k∈Z） （k∈Z）
7．函数f（x）＝ax2+ln（cosx）的导函数在[0，A．a≤﹣
B．a≥﹣
）上是减函数，则a的取值范围是（ ）C．a≤
D．a≥
时，关于x的不
8．已知函数f（x）＝loga（a2x+2a2）﹣x的导函数是奇函数．若当m＞等式f（ex﹣x）≥f（lnm﹣m2）有解，则m的最小值为（ ） A．1
B．
C．
D．e
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．设0＜θ＜π，非零向量＝（sin2θ，cosθ），＝（cosθ，1），则（ ） A．若tanθ＝，则∥ C．存在θ，使2＝
B．若θ＝
，则⊥
D．若∥，则tanθ＝
10．下列条件中，其中p是q的充分不必要条件的是（ ） A．p：a≥1，b≥1；q：a+b≥2 B．p：tanα＝1；q：α＝kπ+
k∈Z）
C．p：x＞1；q：ln（ex+1）＞1
D．p：a2＜1；q：函数f（x）＝x2+（2﹣a）x﹣2a在（0，1）上有零点 11．设α∈（0，A．sinα＝sinβ C．sinα＝cosβ
），β∈（
，π），若
＝tan
B．cosα＝﹣cosβ D．sin2
+sin2
＝1
，则有（ ）
12．已知函数f（x）＝lnx，x1﹣x2＞e，则下列结论正确的是（ ） A．（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2））]＞0 B．e（f（x1）﹣f（x2））＜x1﹣x2 C．x1f（x2）﹣x2f（x1）＞0 D．[f（x1）+f（x2）]＞f（
）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
13．曲线y＝ex﹣e﹣x在x＝0处的切线方程为 ．
14．若、均为单位向量且夹角为θ，设⊥（+μ），若cos2θ＝﹣＝ ． 15．已知tanα＝m，sin2α＝
，则m＝ ．
，则μ
16．已知函数f（x）＝函数g（x）＝log2（x+4），函数h（x）＝f（x）
﹣g（x），当a＝0时，函数h（x）的零点有 个；若h（x）的零点有4个，则a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）＝cos（x+
cos（x+）▪
）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间； （2）将函数f（x）的图象向右平移
个单位，再将横坐标扩大为原来的2倍得到g（x）
的图象，求函数g（x）在[0，π]上的值域．
18．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，已知＝（sinC），∥．若
bcosB+acosC+ccosA＝0．
，1），＝（cosC，
（1）求∠A的大小； （2）若a＝2
，求△ABC的面积．
19．已知函数f（x）＝x3+ax2+（a2﹣1）x+1，f'（x）是其导函数，且f（x）在x＝2处取得极小值．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当x＞0时，求函数g（x）＝f'（x）+ex﹣1+的最小值．
20．图一是东汉末年与三国初期东吴数学家赵爽创造的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，类比赵爽弦图，三个全等的不等腰三角形构成一个大的正三角形和一个小的正三角形（如图二）．已知△ABC与△DEF的面积比为7：1．
（1）求证：EF＝EB； （2）求cos（α﹣β）的值．
21．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，b+c＝k． （1）若k＝2acosB，求证：A＝2B；
（2）若k＝4cosA，求△ABC面积S的最大值． 22．已知f（x）＝e2x﹣a2x，a＞0． （1）若f（x）≥0，求a的取值范围； （2）若f（x1）＝f（x2），且x1≠x2，证明：
＞2a．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A＝{x|﹣3＜x≤1}，B＝{x|﹣5≤x＜0}，则A∩B＝（ ） A．[﹣5，﹣3）
B．（﹣3，0）
C．（0，1]
D．[﹣5，﹣1]
【分析】由集合交集的定义求解即可．
解：因为集合A＝{x|﹣3＜x≤1}，B＝{x|﹣5≤x＜0}， 则A∩B＝{x|﹣3＜x＜0}． 故选：B．
2．已知α是第四象限角，且sinα＝﹣A．
B．﹣
，则tanα＝（ ）
C．
D．﹣
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解． 解：因为α是第四象限角，且sinα＝﹣所以cosα＝则tanα＝故选：D．
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B＝135°，b＝则a＝（ ） A．2
B．
C．3
D．2
，c＝
，
＝﹣
＝．
，
，
【分析】在△ABC中，利用余弦定理求解． 解：在△ABC中，由余弦定理可得cosB＝
，
∴解得：a＝即a＝
，
， ，或a＝﹣2
（舍去），
故选：B．
4．已知A（﹣1，4），B（2，1），O是坐标原点，点P满足则点P的轨迹方程为（ ） A．x﹣y＝1
B．x﹣y＝2
C．x+y＝3
＝λ+μ，且λ+μ＝2，
D．x+y＝6
【分析】设P（x，y），则（x，y）＝λ（﹣1，4）+（2﹣λ）（2，1）＝（﹣λ，4λ）+（4﹣2λ，2﹣λ）＝（4﹣3λ，2+3λ），由此能求出点P的轨迹方程． 解：设P（x，y），
∵O为坐标原点，两点A（﹣1，4），B（2，1）， 点P满足
＝λ
+μ
，其中λ+μ＝2，
∴（x，y）＝λ（﹣1，4）+（2﹣λ）（2，1）＝（﹣λ，4λ）+（4﹣2λ，2﹣λ）＝（4﹣3λ，2+3λ）， ∴
，
消去参数m，得点P的轨迹方程为：x+y﹣6＝0． 故选：D． 5．函数y＝
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由x＝﹣时，y＜0，排除B，D，再取x＝时，y＞0，故排除C，即可得到答案．
解：∵由题意可得
，解得定义域{x|x＞﹣1且x≠0}，
当x＝﹣时，y＝，∴排除B，D；
当x＝时，y＝故选：A．
6．函数f（x）＝cosx▪sin（x+A．x＝kπ+C．x＝kπ+
（k∈Z） （k∈Z）
，故排除C，
）的对称轴方程为（ ）
B．x＝kπ﹣D．x＝kπ﹣
（k∈Z） （k∈Z）
【分析】由题意利用三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，． fx）sin解：∵函数（＝cosx▪（x+＝sin（2x+令2x+
＝kπ+
）+
，
+
，k∈Z， +
，k∈Z，
）＝cosx（
sinx+
cosx）＝
sin2x+
•
，求得x＝
可得函数的图象的对称轴方程为x＝
故选：A．
7．函数f（x）＝ax2+ln（cosx）的导函数在[0，A．a≤﹣
B．a≥﹣
）上是减函数，则a的取值范围是（ ）C．a≤
，依题意，2a﹣
D．a≥ ≤0恒成立，x∈[0，
），
【分析】求得f″（x）＝2a﹣而y＝
≥1，从而可求得答案．
解：∵f（x）＝ax2+ln（cosx）， ∴f′（x）＝2ax+∵f′（x）＝2ax﹣
＝2ax﹣在[0，
（x∈[0，）上是减函数，
）），
∴f″（x）＝2a﹣＝2a﹣≤0恒成立⇔2a≤（）min，
x∈[0，∵y＝
）． ≥1，
∴2a≤1， ∴a≤， 故选：C．
8．已知函数f（x）＝loga（a2x+2a2）﹣x的导函数是奇函数．若当m＞等式f（ex﹣x）≥f（lnm﹣m2）有解，则m的最小值为（ ） A．1
B．
C．
D．e
时，关于x的不
【分析】由已知可得f（x）为偶函数，从而可求得a的值，判断f（x）的单调性，由exm2﹣lnm≥1，﹣x≥0，将不等式转化为ex﹣x≤m2﹣lnm有解，从而m2﹣lnm≥1，令g（m）＝m2﹣lnm，利用导数求出g（m）的单调性，即可求解m的取值范围． 解：因为函数f（x）＝loga（a2x+2a2）﹣x的导函数是奇函数，
所以函数f（x）＝loga（a2x+2a2）﹣x＝loga（a2x+2a2）﹣logaax＝loga（ax+2a2•a﹣x）为偶函数，
所以f（﹣x）＝f（x），
即loga（a﹣x+2a2•ax）＝loga（ax+2a2•a﹣x），
﹣﹣
所以ax+2a2•ax＝ax+2a2•ax，
整理得（2a2﹣1）a2x＝2a2﹣1， 所以2a2﹣1＝0，解得a＝因为a＞0且a≠1，所以a＝所以f（x）＝
[（
或a＝﹣，
）﹣x]，
，
）x+（
由复合函数的单调性可知f（x）在（0，+∞）上单调递减， 因为ex﹣x≥0，m2﹣lnm≥1，
所以由f（ex﹣x）≥f（lnm﹣m2）得f（ex﹣x）≥f（m2﹣lnm）， 即ex﹣x≤m2﹣lnm有解，
所以m2﹣lnm≥1，令g（m）＝m2﹣lnm，g′（m）＝2m﹣＝g（m）在（
，+∞）上单调递增，而g（1）＝1，
，
所以m≥1，所以m的最小值为1． 故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．设0＜θ＜π，非零向量＝（sin2θ，cosθ），＝（cosθ，1），则（ ） A．若tanθ＝，则∥ C．存在θ，使2＝
B．若θ＝
，则⊥
D．若∥，则tanθ＝
【分析】利用向量平行、向量垂直、向量相等的定义和三角函数的性质直接求解． 解：设0＜θ＜π，非零向量＝（sin2θ，cosθ），＝（cosθ，1）， 对于A，当tanθ＝时，2sinθ＝cosθ，∴对于B，当θ＝故B正确；
对于C，当2＝时，
，解得sinθ＝，cosθ＝，
时，
＝sin2θcosθ+cosθ＝sin
，∴∥，故A正确； cos
+cos
＝0，∴
，
不满足sin2θ+cos2θ＝1，∴不存在θ，使2＝，故C错误； 对于D，当∥时，
＝
，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝，故D正确．
故选：ABD．
10．下列条件中，其中p是q的充分不必要条件的是（ ） A．p：a≥1，b≥1；q：a+b≥2 B．p：tanα＝1；q：α＝kπ+
k∈Z）
C．p：x＞1；q：ln（ex+1）＞1
D．p：a2＜1；q：函数f（x）＝x2+（2﹣a）x﹣2a在（0，1）上有零点
【分析】A，B选项可以由不等式的性质，三角函数基本知识直接作出判断；C选项利用函数单调性作出判断；D选项由零点存在性定理作出判断．
解：由不等式的性质，可知a≥1，b≥1⇒a+b≥2，但是由a+b≥2不能推出a≥1，b≥1，例如a＝3，b＝0，故p是q成立的充分不必要条件，A正确． 由于 tanα＝1⇔α＝kπ+
k∈Z），即p⇔q，故p是q的充要条件，故B错误；
因为x＞1，所以y＝ln（ex+1）在R上是增函数， 所以ln（ex+1）＞ln（e+1）＞1，故p⇒q；
反之，若ln（ex+1）＞1，则ex+1＞e，即x＞ln（e﹣1）， 但ln（e﹣1）＜1，故q不能推出p，所以C正确；
首先分析q：函数f（x）＝x2+（2﹣a）x﹣2a在（0，1）上有零点，则f（0）•f（1）＜0，即（﹣2a）•（1+2﹣a﹣2a）＜0，解得0＜a＜1；
再分析p：由a2＜1，得﹣1＜a＜1，显然p不能推出q，但是q可以推出p， 故p是q的必要不充分条件，故D错误． 故选：AC． 11．设α∈（0，A．sinα＝sinβ C．sinα＝cosβ
），β∈（
，π），若
＝tan
B．cosα＝﹣cosβ D．sin2
+sin2
＝1
，则有（ ）
【分析】利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦公式化简已知等式可得cos（
+
）＝0，结合角的范围可求
+
＝
，可得α＝π﹣β，进而利用诱
导公式，同角三角函数基本关系式即可逐项判断得解． 解：因为α∈（0，
），β∈（
，π），
可得∈（0，），∈（，），+∈（，），
若＝＝tan，
则＝，可得cos（+）＝0，
所以+＝，可得α＝π﹣β，
所以sinα＝sin（π﹣β）＝sinβ，故A正确； cosα＝cos（π﹣β）＝﹣cosβ，故B正确； 因为α∈（0，sin2
+sin2
），β∈（＝sin2
，π），sinα＞0，cosβ＜0，故C错误；
﹣
）＝sin2
+cos2
＝1，故D正确．
+sin2（
故选：ABD．
12．已知函数f（x）＝lnx，x1﹣x2＞e，则下列结论正确的是（ ） A．（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2））]＞0 B．e（f（x1）﹣f（x2））＜x1﹣x2 C．x1f（x2）﹣x2f（x1）＞0 D．[f（x1）+f（x2）]＞f（
）
【分析】由函数的单调性即可判断选项A；构造函数g（x）＝ef（x）﹣x，利用导数求出函数的单调性即可判断选项B；构造函数h（x）＝可判断选项C；由函数的凹凸性即可判断选项D．
解：对于A，由于函数f（x）＝lnx在定义域（e，+∞）上单调递增， 且x1＞x2＞e，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x1）﹣f（x2）＞0， 所以（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，故A正确；
对于B，构造函数g（x）＝ef（x）﹣x，所以g′（x）＝﹣1， 当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）是减函数，
所以g（x1）＜g（x2），即ef（x1）﹣x1＜ef（x1）﹣x1，所以e（f（x1）﹣f（x2））＜x1﹣x2，故B正确；
，利用导数求出函数的单调性即
对于C，构造函数h（x）＝，h′（x）＝，
当x＞e时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，所以h（x1）＜h（x2），即所以x1f（x2）﹣x2f（x1）＞0，故C正确；
对于D，因为f（x）是凸函数，所以[f（x1）+f（x2）]＜f（故选：ABC．
＜，
），故D错误．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
13．曲线y＝ex﹣e﹣x在x＝0处的切线方程为 2x﹣y＝0 ．
【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程．
﹣﹣
解：y＝ex﹣ex的导数为y′＝ex+ex，
可得x＝0处的切线的斜率k＝1+1＝2，切点为（0，0）， 则切线的方程为y﹣0＝2（x﹣0），即2x﹣y＝0． 故答案为：2x﹣y＝0．
14．若、均为单位向量且夹角为θ，设⊥（+μ），若cos2θ＝﹣，则μ＝ ±【分析】由向量垂直得
进而是cos2θ＝2cos2θ﹣1＝2×（﹣
＝
＝1+μcosθ＝0，从而cosθ＝﹣
．，
）2﹣1＝﹣，由此能求出μ．
解：∵、均为单位向量且夹角为θ，⊥（+μ），cos2θ＝﹣， ∴∴cosθ＝﹣
＝，
）2﹣1＝﹣， ＝1+μcosθ＝0，
cos2θ＝2cos2θ﹣1＝2×（﹣解得μ＝±故答案为：
． ．
15．已知tanα＝m，sin2α＝，则m＝ 0或±2 ．
【分析】由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解．
解：因为tanα＝m， 所以sin2α＝所以m＝0或±2． 故答案为：0或±2． 16．已知函数f（x）＝
函数g（x）＝log2（x+4），函数h（x）＝f（x）
＝
＝
＝
，可得m＝0，或m2＝4，
﹣g（x），当a＝0时，函数h（x）的零点有 3 个；若h（x）的零点有4个，则a的取值范围是 （1，4） ．
【分析】当a＝0时，作出函数f（x）与g（x）的图象，由图可知，函数h（x）的零点有3个；若h（x）的零点有4个，则f（x）＝g（x）有4个交点，可得当x＞0时，函数f（x）＝
，a＞0，转化为关于a的不等式组求解．
解：函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点，即方程f（x）﹣g（x）＝0的根， 也就是f（x）＝g（x）的交点的横坐标，
当a＝0时，作出函数f（x）与g（x）的图象如图：
由图可知，函数h（x）的零点有3个；
若h（x）的零点有4个，则f（x）＝g（x）有4个交点， 当x＞0时，函数f（x）＝
，a＞0，
需要，解得1＜a＜4．
∴若h（x）的零点有4个，则a的取值范围是（1，4）． 故答案为：3；（1，4）．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）＝cos（x+
cos（x+）▪
）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间； （2）将函数f（x）的图象向右平移
个单位，再将横坐标扩大为原来的2倍得到g（x）
的图象，求函数g（x）在[0，π]上的值域．
【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
（2）由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求得函数g（x）在[0，π]上的值域． 解：（1）∵函数f（x）＝cos（x+•（
cosx﹣
sinx）＝）﹣
，
＝π， ，求得kπ﹣
≤x≤kπ+
，可得函数的增区间为[kπ
sin2x﹣
cos（x+）▪•
）＝﹣sinx•[﹣cos（x+．
）]＝sinx
＝sin（2x+
∴函数f（x）的最小正周期为令2kπ﹣﹣
≤2x+
≤2kπ+
，kπ+]，k∈Z．
个单位，可得y＝sin（2x﹣
）﹣
）﹣
的图象；
（2）将函数f（x）的图象向右平移
再将横坐标扩大为原来的2倍得到g（x）＝＝sin（x﹣在[0，π]上，x﹣
∈[﹣
，
]，sin（x﹣
）∈[﹣
的图象，
，
]．
，1]，g（x）∈[﹣
18．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，已知＝（sinC），∥．若（1）求∠A的大小； （2）若a＝2
，求△ABC的面积．
bcosB+acosC+ccosA＝0．
，1），＝（cosC，
【分析】（1）由向量平行可得C角的正余弦的关系，进而求出C角的值，由题意和正弦定理及三角形中角的关系可得B的值，进而求出A的值； （2）由正弦定理可得c边，代入三角形的面积公式可得面积． 解：因为＝（
，1），＝（cosC，sinC），∥，
所以sinC﹣cosC＝0，即tanC＝，
在△ABC中可得C＝30°， 又因为
bcosB+acosC+ccosA＝0，
sinBcosB+sinAcosC+sinCcosA＝0
由正弦定理可得：即
sinBcosB+sin（A+C）＝0，
在三角形中可得sin（A+C）＝sinB，且sinB≠0， 所以可得cosB＝﹣解得B＝135°，
所以A＝180°﹣30°﹣135°＝15°； （2）a＝2即
，由正弦定理可得；＝
），
×2（1+）．
）×
＝2（1+
）．
，
＝
，
，
可得c＝2（1+
所以S△ABC＝acsinB＝×所以△ABC的面积为：2（1+
19．已知函数f（x）＝x3+ax2+（a2﹣1）x+1，f'（x）是其导函数，且f（x）在x＝2处取得极小值．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当x＞0时，求函数g（x）＝f'（x）+ex﹣1+的最小值．
【分析】（1）对函数f（x）求导，根据题设条件可得a＝﹣3或a＝﹣1，验证可知a＝﹣1符合条件，再求极值即可； （2）令
﹣1
，再根据ex
≥x转化可知g（x）≥1成立，进而得出答案．
解：（1）f′（x）＝x2+2ax+a2﹣1，f′（2）＝4+4a+a2﹣1＝0， ∴a＝﹣3或a＝﹣1，
当a＝﹣3时，f′（x）＝x2﹣6x+8，此时x＝2是函数的极大值点，故a＝﹣1， ∴f′（x）＝x2﹣2x，
易知当x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递增，在（0，2）上单调递减， ∴f（x）在x＝0处取得极大值1，在x＝2处取得极小值（2）
；
，
﹣﹣﹣
设h（x）＝ex1﹣x，h′（x）＝ex1﹣1，当x＝1时，取得最小值h（1）＝0，故ex1≥
x，当x＝1时取等号，
，当且仅当x＝1时取
等号，
故g（x）的最小值为1．
20．图一是东汉末年与三国初期东吴数学家赵爽创造的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，类比赵爽弦图，三个全等的不等腰三角形构成一个大的正三角形和一个小的正三角形（如图二）．已知△ABC与△DEF的面积比为7：1．
（1）求证：EF＝EB； （2）求cos（α﹣β）的值．
【分析】（1）易知∠DEF＝60°，∠AEB＝120°，利用正弦的面积公式表示出△DEF 和△ABE的面积，根据三角形的面积比，可推出边AE与DE之间的等量关系，进而得证；（2）由（1）知，AE＝x＝2y，BE＝y，在△ABE中，利用余弦定理求出AB的长，再求出cosβ，然后根据二倍角公式，可知cos2β和sin2β的值，结合α+β＝60°，以及两角差的余弦公式，得解．
【解答】（1）证明：设△DEF的面积为m，则△ABC的面积为7m， ∴三个全等的不等腰三角形的面积为设AE＝x，DE＝y，则BE＝x﹣y，
＝2m，
∵△DEF为等边三角形，∴∠DEF＝60°，∴∠AEB＝120°， 在△DEF中，S△DEF＝m＝DE•DE•sin60°＝在△ABE中，S△ABE＝2m＝AE•BE•sin120°＝
y2①，
x（x﹣y）②，
由得，＝，化简得（x﹣2y）（x+y）＝0，
∵x+y＞0，∴x﹣2y＝0，即x＝2y， ∴EF＝y，EB＝x﹣y＝y， 故EF＝EB．
（2）解：由（1）知，AE＝x＝2y，BE＝y，
AB2＝AE2+BE2﹣2AE•BEcos120°＝4y2+y2﹣2•2y•y•在△ABE中，由余弦定理知，（﹣）＝7y2， ∴AB＝∴cosβ＝
y，
＝
＝
，
∴cos2β＝2cos2β﹣1＝2•﹣1＝，sin2β＝＝，
在△ABE中，α+β＝180°﹣∠AEB＝60°， ∴α＝60°﹣β，
∴cos（α﹣β）＝cos（60°﹣2β）＝cos60°cos2β+sin60°sin2β＝•+21．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，b+c＝k． （1）若k＝2acosB，求证：A＝2B；
（2）若k＝4cosA，求△ABC面积S的最大值．
【分析】（1）把k＝2acosB，代入b+c＝k，得b+c＝2acosB，利用正弦定理化边为角，结合两角和与差的三角函数求得sinB＝sin（A﹣B），即可证明A＝2B； （2）若k＝4cosA，则4cosA＝b+c
S＝，则B为锐角，可得bc≤4cos2A，
•
＝
．
≤2sinAcos2A，令f（A）＝2sinAcos2A，利用导数求使f（A）取得最大值时的sinA与cosA的值，则△ABC面积S的最大值可求．
解：（1）证明：若k＝2acosB，则b+c＝2acosB， 由正弦定理得sinB+sinC＝2sinAcosB，
∵sinC＝sin（A+B），∴sinB＝2sinAcosB﹣sin（A+B）＝sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B），∴B＝A﹣B或B+A﹣B＝π（舍去），则A＝2B； （2）若k＝4cosA，则4cosA＝b+c∴bc≤4cos2A，S＝令f（A）＝2sinAcos2A， ∴f′（A）＝
由f′（A）＞0，解得tanA＜
，令tan
，
）时，f′（A）＜0， ，cos
，
．
，则B为锐角，
≤2sinAcos2A，
∴A∈（0，A0）时，f′（A）＞0；A∈（∴f（A）在A＝A0处取得最大值，此时sinS
．
．
故△ABC面积S的最大值为
22．已知f（x）＝e2x﹣a2x，a＞0． （1）若f（x）≥0，求a的取值范围； （2）若f（x1）＝f（x2），且x1≠x2，证明：【分析】（1）令t＝ex，则t＞0，则函数为f（t）＝
＞2a．
（t＞0），将不等式恒
成立转化为求解f（t）的最小值，求出f'（t），利用导数研究函数的单调性求解函数的最小值，即可得到答案；
（2）利用函数f（t）的打你到下以及分析法证明不等式成立，通过构造函数g（t）＝f（t）﹣f（2a﹣t），a≤t＜2a，再利用函数研究其单调性以及最值，即可证明不等式． 【解答】（1）解：函数f（x）＝e2x﹣a2x，a＞0， 令t＝ex，则t＞0， 所以函数f（t）＝则f'（t）＝
（t＞0）， ，
当0＜t＜a时，f'（t）＜0，则f（t）单调递减， 当t＞a时，f'（t）＞0，则f（t）单调递增，
所以当t＝a时，f（t）取得最小值f（a）＝因为f（x）≥0恒成立，即f（t）≥0恒成立， 所以
≥0，解得0＜a≤
；
，
，
故实数a的取值范围为
（2）证明：由（1）可知，f（t）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增， 不失一般性，设0＜t1＜a＜t2，则2a﹣t2＜a， 要证明
＞2a，即证明t1+t2＞2a，即证明t1＞2a﹣t2，
则只需证明f（t1）＜f（2a﹣t2）即可， 因为f（x1）＝f（x2），即f（t1）＝f（t2）， 则只需证明f（t2）＜f（2a﹣t2）即可， 令g（t）＝f（t）﹣f（2a﹣t），a≤t＜2a， 则g'（t）＝f'（t）+f'（2a﹣t）＝所以g（t）在[a，2a]上单调递减， 则g（t）≤g（a）＝0， 由题意可知a＜t2＜2a，
所以g（t2）＝f（t2）﹣f（2a﹣t2）＜0， 即f（t2）＜f（2a﹣t2）， 所以t1+t2＞2a， 故
＞2a．
＝
，
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