高二 数学（文）试题
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.直线A.
B.
的倾斜角为（ ） C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
由直线的方程求得直线的斜率，从而求得它的倾斜角．
【详解】直线x+y-3=0，即y=-x+3，它的斜率等于-1，故它的倾斜角为故选：C．
【点睛】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题． 2.从某中学抽取名同学，得到他们的数学成绩如下：则可得这名同学数学成绩的众数、中位数分别为（ ） A.
B.
C.
D.
（单位:分），，
【答案】A 【解析】 【分析】
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】本题中数据92出现了3次，出现的次数最多，所以本题的众数是82；
中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，得：
，中间两个数据的平均数是（92+92）÷2=92．故中位数是92．
故选：A．
【点睛】本题考查众数，中位数的概念，属基础题.
3.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关。黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
- 1 -
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】
根据充分条件和必要条件的定义判断即可
【详解】攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”， 故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件， 故选：B．
【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题． 4.已知圆A. 【答案】A 【解析】 【分析】
利用点与圆心连线的直线与所求直线垂直，求出斜率，即可求过点方程； 【详解】圆
可化为：
，显然过点 ，则所求直线斜率为
。
的直线
不与圆相切，与圆C相切的直线
B.
与直线切于点
C.
，则直线的方程为（ ）
D.
则点与圆心连线的直线斜率为
，整理得
故选A.
，代入点斜式可得
【点睛】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
5.某校高一年级有男生400人，女生300人，为了调查高一学生对于高二时文理分科的意向，拟随机抽取35人的样本，则应抽取的男生人数为（ ） A. 25 B. 20 C. 15 D. 10 【答案】B 【解析】
分析：设应抽取的男生人数为，根据分层抽样的定义对应成比例可得程即可.
- 2 -
，解出方
详解：设应抽取的男生人数为，∴解得
，即应抽取的男生人数为20，故选B.
，
点睛：本题考查应从高一年级学生中抽取学生人数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 6.命题：若（ ） A.
B.
C.
D.
，则
；命题：
，使得
，则下列命题中为真命题的是
【答案】C 【解析】 【分析】
根据条件判断命题p，q命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 【详解】当c=0时，ac2＜bc2不成立，则命题p为假命题， 当x=1时，ln1=1-1=0，则命题q为真命题， 则（¬p）∧q为真命题，其余为假命题， 故选：C．
【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，根据条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．
7.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是( ) A. 都不是一等品 B. 恰有一件一等品 C. 至少有一件一等品 D. 至多有一件一等品 【答案】D 【解析】
试题分析：至多一件一等品的概率是考点：排列组合及古典概型知识的综合运用. 8.已知过椭圆
的左焦点作轴的垂线交椭圆于点
为其右焦点，若
.
，则椭圆的离心率为（ ）
- 3 -
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】
把代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据推断出整理得
，进而求得椭圆的离心率e．
【详解】由题意知点P的坐标为∵
，
或
，
∴ ，
即∴∴
或
．
（舍去）．
故选：D．
【点睛】】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属中档题．
9.如图所示是一个算法的流程图，最后输出的
________.
- 4 -
【答案】22 【解析】
结合流程图，程序运行如下： 初始化数据：S=0,T=1,S=T-S=1，
此时不满足S≥10，循环第一次，T=T+2=3,S=T-S=8， 此时不满足S≥10，循环第二次，T=T+2=5,S=T2-S=17， 此时满足S≥10，结束循环，输出W=S+T=17+5=22. 10.已知
是椭圆
和双曲线
的公共焦点，且
两点为
2
2
在第二、四象限的公共点，若四边形A. B. 【答案】D 【解析】 【分析】 不妨设
，依题意 C.
D.
为矩形，则的离心率为（ ）
，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线
的定义及性质即可求得C2的离心率．
- 5 -
【详解】设|，∵点A为椭圆C1：上
的点，即
；①
，
又四边形AF1BF2为矩形，由①②得：
，解得
，即 ②
设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n， 则
∴双曲线C2的离心率故选：D．
【点睛】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题． 11.已知
是椭圆
的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得
．
，
，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】 设
，代入椭圆方程可得
，根据
，
结合
可
求椭圆的离心率的取值范围. 【详解】设
则
，由题
。
化为
- 6 -
整理得
解得
故选B.
，
【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、向量等知识点的灵活运用． 12.已知是抛物线
，则
的焦点，点
在该抛物线上且位于轴的两侧，为坐标原点，若
面积的最小值为（ ）
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】
【详解】设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2）， 直线AB与x轴的交点为M（m，0）， x=ty+m代入可得
根据韦达定理有∵从而
∵点A，B位于x轴的两侧， ∴
，故
．
，
，
， ，
，
故直线AB所过的定点坐标是即有当
面积
时，即直线AB垂直于x轴， 的面积取得最小值，且为8．
【点睛】本题考查考查三抛物线中三角形的面积的最值，注意求出直线恒过定点，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
- 7 -
13.若满足约束条件，则的最大值为______________
【答案】 【解析】
【详解】
作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由平移直线
得
，
经过点B时，直线
的截距最大，
由图象可知当直线此时z最大． 由
，解得
，即
将B的坐标代入目标函数z=2x-y， 得
．即
的最大值为3．
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
14.假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为_________________ 【答案】 【解析】 【分析】
- 8 -
根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论．
【详解】分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事
件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5．
由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x-y|≤2．
三个不等式联立，则该事件即为x-y=2和y-x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形
即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积5=25， 阴影部分的面积
，
2
所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为．
【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础． 15.设
分别为双曲线
的左、右焦点，点是双曲线左支上一点， 是
的中点，且【答案】 【解析】 【分析】
， ，则双曲线的离心率为_________________
运用双曲线的定义和△PF1F2为直角三角形，则|PF2|+|=|PF2|，=|F1F2|．，由离心率公式，计算即可得到离心率．
【详解】P为双曲线左支上的一点， 则由双曲线的定义可得，|PF2|-|PF1|=2a， 由|PF2|=2|PF1|，则|PF2|=4a，|PF1|=2a， ∵M是PF1的中点，且OM⊥PF1
∴由△PF1F2为直角三角形，则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．
222
- 9 -
∴5a=c 即有e=． 即答案为．
【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题． 16.抛物线线段
的焦点为，准线为，为抛物线上一点，且在第一象限，
的斜率为，则
________________
于点，
22
与抛物线交于点，若
【答案】【解析】 【分析】
过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，于是∠PFM=∠PMF=∠MFO=∠MNQ，设
则
，利用二倍角公式求出cos∠PFx，列出方程解出λ．
【详解】过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，
设，则 ，∴
，
．．
∴∠PMF=∠PFM
．
，
∵|PM|=|PF|
∵tan∠PFx=，即答案为
.
，解得λ=10．即λ＝
2
．
【点睛】本题考查了抛物线的性质，三角函数的恒等变换，属于中档题．
三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.天猫“双”全球狂欢节正在火热进行，某天猫商家对
年“双”期间的
名网络
购物者的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间方图如图所示：
内，其频率分布直
- 10 -
（1）求直方图中的的值． （2）估计这
名网络购物者在
年度的消费的中位数和平均数．（保留小数点后三位）
【答案】（1）3（2）中位数【解析】 【分析】
，平均数
（1）利用频率和为1，求得a． （2）设中位数为，则
，可求；平均数
计算即可.
【详解】（1）由题意可知，（2）设中位数为，则平均数
【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，属基础题.
18.某公司为研究某产品的广告投入与销售收入之间的关系，对近五个月的广告投入（万元）与销售收入（万元）进行了统计，得到相应数据如下表： 广告投入（万元） 销售收入（万元）
（1）求销售收入关于广告投入的线性回归方程
．
，则
，解得
.
- 11 -
（2）若想要销售收入达到万元，则广告投入应至少为多少.
参考公式： ，
【答案】（1）【解析】 【分析】
（2）
（1）由表中数据计算平均数和回归系数，求出y关于x的线性回归方程； （2）利用回归方程令【详解】（Ⅰ）由题意知，
，求出的范围即可．
，
关于的线性回归方程为（Ⅱ）令
，则
.
，即广告投入至少为（万元）.
，
【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题． 19.已知（1）若（2）若
，设：实数满足，且是
，：实数满足
．
为真，求实数的取值范围；
的充分不必要条件，求实数的取值范围．
;(2)
.
【答案】(1) 【解析】
试题分析：（1）为真时实数的取值范围是然后求交集即可；（2）
. 试题解析： （1）由当由因为
，为真时实数x的取值范围是，且
是的充分不必要条件即即是的充分不必要条件，易得：
得
时，
，得
.
，即为真时实数的取值范围是
，即为真时实数x的取值范围是
为真，所以真且真，
- 12 -
所以实数的取值范围是 （2）由
得
.
，
.
所以，为真时实数的取值范围是因为 所以
是且
的充分不必要条件，即是的充分不必要条件
.
为抛物线上一点，且
．
所以实数的取值范围为：20.已知抛物线
（1）求抛物线的方程． （2）直线【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）根据抛物线的定义（2）设令
，得
.由
，联立
的焦点为，点
与抛物线交于两个不同的点（2）
，若，求实数的值．
4，求出，即可得到抛物线的方程．
，得
，
，由韦达定理，可得
，
解出验证即可. 【详解】（1）已知抛物线
则
， ∴
， ． ，
，得 且由则
过点，且
故抛物线的方程为（2）设联立
， ，
，
- 13 -
∴经检验，当由
知
，
时，直线与抛物线交点中有一点与原点重合，不合题意，
综上，实数的值为．
【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，属基础题. 21.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶元，售价每瓶元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶元的价格当天全部处理完。据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:
，需求量为
)有关，如果最高气温不低于，需求量为瓶；如果最高气温低于，需求量为
瓶；如果最高气温位于区间
瓶，为了确定六月份的订购计划，
统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 天数
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过
瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元)，若该超市在六月份每天的进货量均为瓶，写出的所有可能值，并估计. ．．．大于零的概率．．．．．．．【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．
（2）当温度大于等于25°C时，需求量为500，求出Y=900元；当温度在[20，25）°C时，需求量为300，求出Y=300元；当温度低于20°C时，需求量为200，求出Y=-100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率 【详解】(1)这种酸奶一天的需求量不超过由表格数据知，最高气温低于的频率为所以这种酸奶一天的需求量不超过
瓶，当且仅当最高气温低于，
，
.
（2）
瓶的概率的估计值为
- 14 -
（2）当这种酸奶一天的进货量为若最高气温不低于，则若最高气温位于区间若最高气温低于，则所以，的所有可能值为
，则
瓶时，
；
； .
.
若大于零当且仅当最高气温不低于， 由表格数据知，最高气温不低于的频率为因此大于零的概率的估计值为
.
，
【点睛】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 22.已知
是椭圆
的两个焦点，为坐标原点，点
在椭圆上，且
，
两点
.
是以为直径的圆，直线与相切，并且与椭圆交于不同的
（1） 求椭圆的标准方程； （2） 当
，且满足
时，求弦长
的取值范围．
【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）根据点
（2）
在椭圆上，且，可建立方程，从而可求椭圆M的方程；
（2）利用直线l：y=kx+m与⊙O：x2+y2=1相切，可得m2=k2+1，进而将直线与椭圆方程联立，可表示弦长，利
，，可确定其范围．
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【详解】（1）由得，可得，将点代入椭圆方程得，
又因为，联立解得，故椭圆方程为．
（2）直线与⊙O相切，则。
由得
．设
因为直线与椭圆交于不同的两点∴
，
∴
∴
设，则，
在
上单调递增 ，∴
．
【点睛】本题以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与圆，与椭圆的位置关系，考查弦长的求解，有较强的综合性．
- 16 -
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