平面向量单元测试题

一、选择题〔每题5分，共50分〕 1．化简ACBDCDAB得〔 〕

A．AB B．DA C．BC D．0 →→

2．如图，四边形ABCD中，AB＝DC，那么相等的向量是〔 〕

→→→→A. AD与CB B. OB与OD →→→→C. AC与BD D. AO与OC

3．某人先位移向量a：“向东走5 km〞，接着再位移向量b：“向西走3 km〞，那么ab表示( )

A．向东走2 kmB．向西走2 km C．向东走8 kmD．向西走8 km

4．如果△ABC的顶点坐标分别是A(4,6),B(2,1),C(4,1),那么重心的坐标是( ) A.(2,1) B.(2,2) C.(1,2) D.(2,4)

→→→

5．假设AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，那么BC＝( )

A．(1,1) B．(－1，－1)C．(3,7) D．(－3，－7)

6．以下向量组中能作为表示它们所在平面的所有向量的基底的是〔 〕

A.e1=〔0，0〕，e2 =〔1，－2〕 B.e1=〔－1，2〕，e2=〔5，7〕 C.e1=〔3，5〕，e2=〔6，10〕 D.e1=〔2，－3〕，e2=〔

7． O是ΔABC所在的平面的一点，且满足〔OB-OC〕·〔OB+OC-2OA〕=0，那么ΔABC

的形状一定为〔 〕

A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．斜三角形

8．|a|3,|b|5,且ab12，那么向量a在向量b上的投影为〔 〕

A．

1 / 7

12 513，－〕 24B．3C．4 D．5

9．两个力F1,F2的夹角为900，它们的合力的大小为10N，合力与F1的夹角为600，那么F1的大小为〔 〕

A．53N B．5NC．10ND．52N

→→→→

10．向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上一点P，使AP·BP有最小值，那么点P的坐标为( )

A．(－3,0) B．(2,0)C．(3,0) D．(4,0)

二、填空题〔每题5分，共20分〕

11．假设a3,b2，且a与b的夹角为600，那么ab．

12．如图，M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，

假设ABa，ACb，那么MN＝．

13．一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，那么船实际航行的速度的大小是km/h．

14．设点M1(2,－2), M2(－2,6)，点M在M2M1的延长线上，且| M1M|=|M M2|，那么点M的坐标是．

三、解答题〔本大题共6小题，共780分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕 15．〔本小题总分值14分〕

向量ae1e2，b4e13e2，其中e1(1,0)，e2(0,1)． 〔1〕试计算ab与ab的值； 〔2〕求向量a与b的夹角的余弦值。

2 / 7

1516．〔本小题总分值14分〕

a3，b2，a与b的夹角为60°，c3a5b，dma3b.

(1)当m为何值时，c与d垂直？ (2)当m为何值时，c与d共线？

17．〔本小题总分值12分〕

→

在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD|与点D的坐标．

18．〔本小题总分值12分〕

如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，AB4,AD2,且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，且DAB60，求AMDN的值. 19．〔本小题总分值14分〕

3 / 7

三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． →→

(1)求证：AB⊥AD；

(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．

20．〔本小题总分值14分〕

133，1，b，

22〔1〕证明：ab； 平面向量a〔2〕假设存在不同时为零的实数k和t，使xat3b，ykatb，且xy，

试求函数关系式kf(t)；

〔3〕根据〔2〕的结论，讨论关于t的方程f(t)k0的解的情况。

4 / 7

平面向量单元测试题参考答案

一、选择题 DDABBBCABC

1

二、填空题 11、7 12、 〔b－a〕 13、4 14、(3,4)

3

15、解：〔1〕a =〔1，0〕-〔0，1〕=〔1，-1〕，b=〔4，0〕+〔0，3〕=〔4，3〕。

a·b=〔1，-1〕·〔4，3〕=1；………………………………………………6分

|a+b|=|〔5，2〕|=29。………………………………………………10分 〔2〕cosab2。………………………………………………14分

|a||b|1016、解：(1)令c·d＝0，那么(3a＋5b)·(ma－3b)＝0，

2922

即3m|a|－15|b|＋(5m－9)a·b＝0，解得m＝. 14

29

故当m＝时，c⊥d. ………………………………………………7分

14(2)令c＝λd，那么3a＋5b＝λ(ma－3b)，即(3－λm)a＋(5＋3λ)b＝0，

3－λm＝0，

∵a，b不共线，，∴

5＋3λ＝0.

5

λ＝－，3解得9

m＝－5.

9

故当m＝－时，c与d共线．………………………………………………14分

5→

17、解：设D点坐标为(x，y)，那么AD＝(x－2，y＋1)，

→

BC＝(－6，－3)，BD＝(x－3，y－2)，

→→

∵D在直线BC上，即BD与BC共线， ∴－6(y－2) －〔－3〕〔x－3〕＝0，

∴x－2y＋1＝0.①………………………………………………6分 →→

又∵AD⊥BC，∴AD·BC＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.②

x＝1，

由①②可得

y＝1.

→

………………………………………………10分

→→22∴|AD|＝1－2＋2＝5，即|AD|＝5，D(1,1)．………………………………12分

18、解：设ABa，ADb所以a4，b2，那么ab42cos604………4分

5 / 7

11AMDN(ADDM)(ANAD)(ba)(ab) 故

4221211abab2441……………………………12分 844〔此题可建坐标解答〕

→→

19、解：(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．∴AB＝(1,1)，AD＝(－3,3)．

→→→→

又∵AB·AD＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB⊥AD.………………………………………6分 →→→→(2)∵AB⊥AD，假设四边形ABCD为矩形，那么AB＝DC. 设C点的坐标为(x，y)，那么有(1,1)＝(x＋1，y－4)，

x＋1＝1，∴y－4＝1，

x＝0，

∴y＝5.

∴点C的坐标为(0,5)．

→→→→→→

由于AC＝(－2,4)，BD＝(－4,2)，∴AC·BD＝(－2)×(－4)＋4×2＝16，|AC|＝25，|BD|＝25.

→→

AC·BD164

设对角线AC与BD的夹角为θ，那么cosθ＝＝＝>0.

→→205|AC||BD|

4

故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为.……………………………………14分

5

1320、解：①a·b310ab……………………4分

22 ②xy，x·y0，即at3b·katb0

22整理得：katkt3a·btt3b0

22 因为：a·b0，a4，b1，那么4ktt30

kf(t)123tt………………………………………………9分 4422121391399③kf(t)(t3t)tt

4424161642 且方程f(t)k0的解的情况可以看作曲线yf(t)与直线yk的交点的个数

k9时，yk与f(t)有两个交点，因此方程f(t)k0有两解； 169k时，yk与f(t)有一个交点，因此方程f(t)k0有一解；

166 / 7

k

9时，yk与f(t)没有交点，因此方程f(t)k0无解。 16………………………………………………14分

7 / 7