ｌ ＪｉａｏＸｕｅＳｈｉＪｉａｎＹａｎｊｉＵ ｌ Ｉ☆教学实践研究☆ｆ 《数学分析》课程教学方法的探讨与实践 刘江蓉 （武汉工业学院数理科学系，武汉４３００２３） 摘要：为全面提高学生素质，在《数学分析》课程教学中构建三阶段教学模式，提出了本教学方法的含义，探索了 此教学方法的三个环节三个阶段基本框架，并以数项级数和函数项级数为例，在具体的教学中进行了实践，效果甚佳。 关键词：三阶段教学；设置问题；数项级数 中图分类号：Ｇ６４２ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００２－－２５８９（２０１０）１４—０２５１一Ｏ２ 引言 俱到，唯恐遗漏了某个知识点。事实上，大家知道这种教学 《数学分析》（《高等数学》）是理工科高等院校一门重 的效果甚微，弊端如下：第一，授课方法和授课环境的简单 要的基础理论课，是各专业基础课和专业课必不可少的基 化，不利于学生应变能力的培养。一本书学不薄，一个定理 础工具，其基础知识和基本研究方法已渗透到社会生活的 展不开，吸收的知识凌乱不堪；第二，纯粹的理论知识授 各个方面，得到了人们的普遍认可。但是，由于这门课本身 课，缺乏生动性和实践性。看似面面俱到，实则空洞无力。 的特点：严密性、逻辑性、推理性、理解性很强，注重学生分 二、三阶段教学法的基本框架 析问题、解决问题的能力。按照现代教育观念、全面发展学 １．三阶段教学法的三个阶段。教学过程以教师为主导， 生素质教育的要求，学习最终要靠学生自己，学生没有学 主要分三个阶段进行：第一阶段，在课堂教学中设置问题， 习的愿望、兴趣和动力，就学不好。教师的魅力在于真正用 发挥教师的主导作用，这是关键的一步。首先，在阅读过程 心体察学生，激发学生学习的欲望，学习的兴趣，使学生对 中，学生难免瞎碰瞎撞，浪费一些不必要的时间，为了节约 学习能钻进去，着了迷，达到忘我境界。为此，怎样改革教 时间，教师要指导学生阅读，引导学生获取知识。然后，精 学方法，提高教学效果确实值得研究。文中对置疑式三阶 心创设良好的问题情境，优化课堂教学。第二阶段，在课后 段教学进行了初探，联系文研究问题式在线性代数中的应 预留问题，调动学生的学习主动性。大学生的课堂学习时 用，本文进一步在《数学分析》中探索了三阶段教学法的基 问是非常有限的，课后学习可以促进学生进一步探求知识 本框架，并以数项级数与函数项级数为例，在具体的教学 规律，提高解题技巧和方法，从而发展能力。数学分析是数 中进行了实践，效果甚佳。 学专业最重要的一门基础科，负有重大的启蒙作用。因此， 一、三阶段教学法的提出 通过习题课和单元测验，在作业及平时测验中寻找问题， １．三阶段教学法的涵义。三阶段教学是根据知识体系 发现问题，讨论提高，呈现学生获得的知识水平，教与学的 和学生的认知能力，教师通过提问、反问、设问的效果，有 的效果达到完美统一。第三阶段，打破时间、空间界定，将 针对性地对课堂、课后和课外实践三个阶段的教学进行设 课堂拓展到校园、社会，布置一些学习问题或选择有意义 计和安排。这种教学方法使教师的教和学生的学达成了统 的小课题，让学生到图书馆搜集资料信息，开展研究实践， 一，通过在一定限度内给学生设置问题、布置问题，将问题 提高独立自学和知识应用能力。 贯穿于整个教学过程，形成良好的师生互动，很好地促进 ２．三阶段教学法的三个环节。教学过程以学生为主体， 了学生积极思维和独立分析问题、解决问题的能力，是教 教师精心备课和组织课堂内容，主要分ｊ个环节：第一，确 学组织形式的一次变革。 立教学目标，教师置疑，学生生疑。根据学生的认知规律和 ２．实施二三阶段教学法的必要性。当前，我国推行全面素 章节特点，向学生提出教学目标，使学生明白要学什么，怎 质教育，学生的素质确有加强，但是由于传统的应试教育 样思考，引导学生探究问题的好奇心和兴趣，通过导趣，使 影响，教师习惯于在课堂上进行系统知识传授，课后题海 学生对所学问题生疑。第二，实施教学目标，教师导疑、导 战术，不太注重和重视智能的发展。我们发现刚步人大学 思，学生质疑、释疑。教师应紧紧围绕教学目标，引导学生 校门的学生对大学数学的学习不能适应，继而放松学习， 质疑、释疑，并随时调整思维，允许学生有不同的意见和方 注意力被一些新鲜时尚的事物所吸引。而大学，授课任务 法，师生达成互动。第三，达成教学目标，教师导创，学生创 比较繁重，教师又普遍采用“满堂灌”、“填鸭”式教学：面面 新。以学生为主体，给学生充分的思考、讨论、总结之后，把 收稿日期：２０１０－０２－０９ 基金项目：武汉工业学院教学研究项目（ＸＭ２００９０２７） 作者简介：刘江蓉（１９７６一），女，陕西富平人，讲师，从事非线性泛函分析和数学教学研究。 Ｔｈｅｏｒｌ／Ｒｅｓｅａｒｃｈ 学★★理★★论 对问题的探索转化为创新，引导学生拓展创新思维。 由特殊到一般，针对一般项级数的审敛法，如：绝对收 总之，具体的实际教学中，根据不同教材，结合学生的 敛判别法、阿贝尔判别法和狄里克雷判别法，引导学生对 具体情况设疑、解疑，针对学生的学习情况全方位设计，设 比无穷积分的相关知识来思考、记忆甚至应用。 计问题具有探索性，从而指导学生学习数学的方法，锻炼 课后，根据数项级数的知识及其与反常积分之间的联 学生养成良好的学习习惯，培养他们的自学能力和创新能 系，布置问题让学生写出自己的体会以及对两部分知识点 力。从第一至第 步，即完成一个循环。对于某一部分教学 的新认识。同时，新课之前利用测验对所学内容加以巩固， 内容，可连续进行上述循环，完成教学任务。当然对于整 讨论级数 （一１）“ ÷・ １（ａ≥０）的绝对收敛性。这个 个一门课程的教学，可综合运用上述方法和其它方法组织 如：Ｉｌ十ｌ ｎ” 教学。 问题不但考察了正项级数、一般项级数的判别方法，而且， ２５２ 三、《数学分析》中三阶段教学法的实践与效果 以《数学分析》中的数项级数和函数项级数为例： 先给出两个问题： １） 十 ＋ ＋．．・结果是多少？１—１＋１—１十¨・结果是否 存在？（第一个和为１，没有什么争议；但是第二个和却是 五花八门，有说１，有说０，还有说Ｉ－，我们要的就是这种效 果） ２）解释芝诺怪论：阿其里斯永远追不上乌龟（实际中 我们知道肯定可以追上，但有意误导一下，学生也认为有 道理，是追不上啊！真是怪论！）。 ’ 这时，引导学生共同分析矛盾在什么地方？其实我们 忽略了一个最本质的东西：“无限个数相加”不能简单地引 用“有限个数相加”的概念，而必须建立它本身严格的理 论。哦，这下豁然开朗了：原来有限到无限不是简单的平行 推广。那么，怎样理解数项级数中无穷多个数相加呢？联系 极限的概念，我们可以从有限项的和出发，观察它们的变 化趋势，引出无限和的极限思想，由此来理解无穷多个数 相加的含义。一步一步引导学生深刻理解级数收敛的概念 与和的定义。既然收敛的概念是以部分和数列极限的形式 表达的，那么，极限的一系列知识都可平移到级数中，如： 用定义判定级数的敛散性；收敛级数的线性性；级数收敛 的柯西准则（包括否定形式）；级数收敛的必要条件等。甚 至于一些计算极限的问题都可用级数相关知识来解决。提 出问题，让学生解答或讨论，获得的信息就比较全面，并且 不枯燥。 如果仅借助于定义判定级数的敛散性，那么肯定有诸 多局限性。于是，第二节讨论判定方法。由正项级数开始， 先告诉学生几点信息（前面已经掌握的）： 一 １・ ， １）若级数 ｕ 收敛，则 ｕ ＝０；若反常积分ｆ ｆ（ｘ）ｄｘ 收敛，且 ｆ（ｘ）存在，则 ｆ（ｘ）＝０。 ２）若级数∑ｕ 为正项级数，则∑ｕ 收敛的充要条件 是∑ｕ 的部分和数列有界；反常积分』Ｉｆ（ｘ）ｌｄｘ收敛的充 要条件是Ｉ Ｉｆ（ｘ）ｌｄｘ有上界。 提问学生有没有发现什么？（级数和无穷限反常积分 之间有某种共同之处）在反常积分相关内容的基础上，引 导学生再写出它们之间的一些相似结论，尤其是找出正项 级数收敛的判别方法：比较原则及其极限形式等。两者既 然有共同之处，那么能否联系起来？很自然地，积分判别法 就可呈现给学生。 还可以让学生在这个问题中再去发现其它的信息，留给学 生更多的思考空问。 函数项级数是数项级数的推广，它所要讨论的问题与 数项级数相近，但是更复杂、更深入。由于表达函数项级数 的函数列涉及变量，它的收敛只是一个局部概念，一致收 敛才是一个很重要的性质，因此，函数项级数就需要大篇 幅考虑一致收敛性的问题。点到这里，联系数项级数的收 敛法，留给学生思考：函数项级数的一致收敛性有哪些判 别方法？怎么由数项级数推广过来？还有没有新的方法？提 出问题，稍加点拨，让学生独立完成。然后对照课本，强调 相关概念与方法。只有经过自己独立思考，最终获得的东 西，才是长久的，理解和掌握才能够深刻，并且从中获得的 成就感又是进一步学习的动力。测验时，可以找典型的，但又 不是很难的题目。如：用两种方法判定级数 — 一ｘ ＩＩ十ＣＵＳＸ 卜 ， Ｔｒ］的一致收敛性（考察对阿贝尔判别法和狄里克雷 二 判别法的记忆和应用）。当然，这两章节中还有其它知识点， 具体问题具体对待。 笔者在２００９级和２００７级信息与计算科学专业的学 生中进行了试点，学生的学习积极性明显增强，学习效果 甚佳。学生反映通过这样的教学，他们掌握的知识不再是 零散的、固定的，而是一个有条理的知识体系，知识网，易 接受、易学，他们也愿意学。不但学到了具体的知识，也学 会了数学的思想，学会了解决问题的方法，更重要的是学 会了学习：不是机械地记忆接收，而是灵活地吸收消化，甚 至达到创新。 结束语 在大学数学中进行三阶段教学，改变传统的纯粹讲授 式教学方法，将数学教师在数学教学中的作用，由过去的 “主导作用”转向“课堂教学的设计者、组织者、合作者”，数 学教师将由数学知识传授的主宰者转变为数学教学活动 的组织者、引导者、参与者和研究者；同时让学生成为自己 学习的主人，为今后的终身学习和终身发展奠定良好的基础。 学习是每个学生的大事，从终身教育的理论出发，它 也是每个人一生的大事。知识经济时代，我们要重视培养 能力，以培养学生自主学习能力为大计，“授人以鱼不如授 人以渔”，有了自主学习的能力，就可以成为学习的强大 者，可以终身受益。 参考文Ｊ蠡Ｉ： ［１］刘江蓉．置疑式三阶段教学模式探讨［Ｊ］．内江科技，２００８。（７）： ６８－６９． ［２３方文波．问题式教学法在线性代数教学中的应用［Ｊ］．工科数学， ２００２。（６）：５９—６３． ［３］华东师范大学数学系．数学分析：第３版（上下册）［Ｈ］．北京：高等 教育出版社。２００１． （责任编辑／王建国）