(完整)基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案),推荐文档

1．基本不等式

a＋b

若a>0,，b>0，则2≥ab，当且仅当 时取“＝”．

这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定）

(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)ababa,b0 2

ab≥ab它们成立的条件不同，前者只要求a、2ab2

b都是实数，而后者要求a、b都是正数.其等价变形：ab≤（）.

2

注：不等式a2＋b2≥2ab和

ab(3)ab≤ (a，b∈R)．

2ba

(4)a＋b≥2(a，b同号且不为0)．

222

aba＋b(5)2(a，b∈R). 22a2b2ab2a,b0 ab（6）

1122aba3＋b3＋c3

;a,b,c0 (7)abc≤3a＋b＋c3(8)3≥abc；a,b,c0

3．利用基本不等式求最大、最小值问题

(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有 ，即a＋b≥ ，a2＋b2≥ .

(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即 ；

1

或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即 .

设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A.6 B.42 C.22

D.26

解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，3

当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.

若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( ) 1

A.2 B.1 C.2 D.4

1

解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤2.当且仅当a1

＝1，b＝2时等号成立.故选A.

小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )

A.a＜v＜ab

B.v＝ab

a＋ba＋bC.ab＜v＜2 D.v＝2 解：设甲、乙两地之间的距离为s. ∵a＜b，∴v＝s

2sa＋b

s＝

2ab2ab

＜＝ab. a＋b2ab

ab－a2a2－a22ab

又v－a＝－a＝＞＝0，∴v＞a.故选A.

a＋ba＋ba＋b

(2014·上海)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________. 24解：由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋x2≥22，当且仅当x＝±2时等号成立.故填22.

点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________.

解：由条件知，m＞0，n＞0，m＋n＝1， m＋n21

＝， 所以mn≤

421

当且仅当m＝n＝2时取等号，

1

∴log2m＋log2n＝log2mn≤log24＝－2，故填－2.

2

类型一 利用基本不等式求最值 （x＋5）（x＋2）

(1)求函数y＝(x＞－1)的值域.

x＋1

（m＋4）（m＋1）

解：∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0，且y＝

m4

＝m＋m＋5≥2

(2)下列不等式一定成立的是( )

11

A.lgx2＋4>lgx(x>0) B.sinx＋sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)



12x||C.x＋1≥2(x∈R) D.2>1(x∈R) x＋1111

解：A中，x2＋4≥x(x＞0)，当x＝2时，x2＋4＝x. 1

B中，sinx＋sinx≥2(sinx∈(0，1])； 1

sinx＋sinx≤－2(sinx∈[－1，0)). C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R). D中， 点拨：

ax2＋bx＋c

这里(1)是形如f(x)＝的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将

x＋df(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋

e

＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性x＋d

1

∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C. x2＋1

4m·m＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故ymin＝9.

又当m→＋∞或m→0时，y→＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).

等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.

(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.

t2－4t＋1

(1)已知t＞0，则函数f(t)＝的最小值为 .

t

3

t2－4t＋11

解：∵t＞0，∴f(t)＝＝t＋

tt－4≥－2， 当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.

(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： (Ⅰ)xy的最小值； (Ⅱ)x＋y的最小值.

82

解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，又x＞0，y＞0， 82则1＝x＋y≥2

828·＝，得xy≥64， xyxy

8y

，∵x＞0，∴y＞2， y－2

当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立. (Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝则x＋y＝y＋

8y16＝(y－2)＋＋10≥18， y－2y－2

16

，即y＝6，x＝12时等号成立. y－2

当且仅当y－2＝

82

解法二：由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1， 2x8y82则x＋y＝x＋y·(x＋y)＝10＋y＋x≥10＋2

6，x＝12时等号成立.

类型二 利用基本不等式求有关参数范围

若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，

总有( )

A.2∈M，0∈M B.2∉M，0∉M C.2∈M，0∉M

D.2∉M，0∈M

2

4

2x8yy·x＝18，当且仅当y＝

k4＋45

解法一：求出不等式的解集：(1＋k)x≤k＋4⇒x≤2＝(k2＋1)＋2－

k＋1k＋15

2⇒x≤（k2＋1）＋k2＋1－2＝25－2(当且仅当k2＝5－1时取等号).

min

解法二(代入法)：将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R.

故选A. 点拨：

一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，

4

对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：

(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min； (3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min； (4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.

已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等

式

mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围. 解：由条件知m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立. t－1

令t＝ex(x＞0)，则t＞1，且m≤－2＝ －

t－t＋1成立.

∵t－1＋∴－

t－1＋

1

＋1≥2t－111

＋1t－1

1

（t－1）·＋1＝3，

t－1

对任意t＞11

t－1＋＋1

t－1

1

1≥－3，

当且仅当t＝2，即x＝ln2时等号成立. 1

－∞，－故实数m的取值范围是. 3类型三 利用基本不等式解决实际问题

围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙

(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).

(1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m， 则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360. 360

由已知xa＝360，得a＝x， 3602

所以y＝225x＋x－360(x≥2).

5

3602

(2)∵x≥0，∴225x＋x≥2225×3602＝10800， 3602

∴y＝225x＋x－360≥10440，

3602

当且仅当225x＝x，即x＝24时等号成立.

答：当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m的无盖长

方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计).

解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数， k

根据题意可知：y＝ab，其中k是比例系数且k＞0. 依题意要使y最小，只需ab最大.

由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)， 即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0). ∵a＋2b≥22ab，

∴22·ab＋ab≤30，得0＜ab≤32.

当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3. 故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少. 解法二：同解法一得b≤

30－ak

，代入y＝ab求解. a＋2

1.若a＞1，则a＋

1

的最小值是( ) a－1

2a

A.2 B.a C.3 D.

a－1

11

解：∵a＞1，∴a＋＝a－1＋＋1≥2

a－1a－13，当a＝2时等号成立.故选C.

2.设a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，则下列各式正确的是( )

1

（a－1）·＋1＝2＋1＝

a－1

6

a2＋b2a2＋b2a2＋b2a2＋b2

A.ab＜1＜2 B.ab＜1≤2 C.1＜ab＜2 D.ab≤2≤1 a＋b2

⇒ab≤1以及(a＋b)2≤2(a2＋b2)⇒2≤a2＋b2(由解：运用不等式ab≤

2a2＋b2

于a≠b，所以不能取等号)得，ab＜1＜2，故选A.

5－4x＋x2

3.函数f(x)＝在(－∞，2)上的最小值是( )

2－xA.0 B.1 C.2 D.3

1＋（4－4x＋x2）1

解：当x＜2时，2－x＞0，因此f(x)＝＝＋(2－

2－x2－xx)≥2·

11

·（2－x）＝2，当且仅当＝2－x时上式取等号.而此方程有解x2－x2－x

＝1∈(－∞，2)，因此f(x)在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.

4.(2014·福建)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )

A.80元 C.160元

B.120元 D.240元

4

解：假设底面的长、宽分别为x m，x m，由条件知该容器的最低总造价为80

y＝80＋20x＋x≥160，当且仅当底面边长x＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.

5.下列不等式中正确的是( ) ba

A.若a，b∈R，则a＋b≥24

C.若x<0，则x＋x≥－2

－

baa·b＝2 4x·x＝－4

－

B.若x，y都是正数，则lgx＋lgy≥2lgx·lgy

D.若x≤0，则2x＋2x≥22x·2x＝2

解：对于A，a与b可能异号，A错；对于B，lgx与lgy可能是负数，B错；44

对于C，应是x＋x＝－（－x）＋－x≤－2



4

（－x）·＝－4，C错；对于

－x

D，若x≤0，则2x＋2－x≥22x·2－x＝2成立(x＝0时取等号).故选D.

6.(2014·重庆)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是( ) A.6＋23 C.6＋43

B.7＋23 D.7＋43

7

解：因为log4(3a＋4b)＝log2ab，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b3a＋4b＞0，43

＝ab，且 即a＞0，b＞0，所以a＋b＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋

ab＞0，4b3a43b)a＋b＝7＋a＋b≥7＋2D.

7.若对任意x＞0，

x

≤a恒成立，则a的取值范围是.

x2＋3x＋1

4b3a4b3a·＝7＋43，当且仅当aba＝b时取等号.故选

1

解：因为x＞0，所以x＋x≥2(当且仅当x＝1时取等号)， x

所以有2＝

x＋3x＋1即

111

≤＝， 12＋35x＋x＋3

x11

的最大值为，故填a≥.

55x2＋3x＋1

8.(2014·四川)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.

解：易知定点A(0，0)，B(1，3). 且无论m取何值，两直线垂直. 所以无论P与A，B重合与否，均有

|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上). 1

所以|PA|·|PB|≤2(|PA|2＋|PB|2)＝5.

当且仅当|PA|＝|PB|＝5时，等号成立.故填5. 4

9.(1)已知0＜x＜3，求x(4－3x)的最大值；

(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值. 4

解：(1)已知0＜x＜3，∴0＜3x＜4.

113x＋4－3x24

＝， ∴x(4－3x)＝3(3x)(4－3x)≤3322

当且仅当3x＝4－3x，即x＝3时“＝”成立. 24

∴当x＝3时，x(4－3x)取最大值为3.

(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，所以x＋2y＝3. ∴2x＋4y≥22x·4y＝22x＋2y＝223＝42. 2x＝4y，33

当且仅当 即x＝2，y＝4时“＝”成立.

x＋2y＝3，

8

33

∴当x＝2，y＝4时，2x＋4y取最小值为42.

10.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2ab－4a2－b2的最大值. 解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝21

2a＋b≥22ab，即ab≤4，ab≤8，∴S＝2ab－4a2－b2＝2ab－(1－4ab)＝2ab＋4ab－1≤

2－111

.当且仅当a＝，b＝242时，等号成立.

11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.

(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？

解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.

设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.

解法一：由于2x＋3y≥22x×3y＝26xy， 2727

∴26xy≤18，得xy≤2，即S≤2. 当且仅当2x＝3y时等号成立. 2x＝3y，x＝4.5，由解得 2x＋3y＝18，y＝3.

故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大. 3解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－2y. ∵x＞0，∴0＜y＜6. 33

S＝xy＝9－2yy＝2(6－y)y.



3（6－y）＋y227

＝. ∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤222当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5. 故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S＝xy＝24.

设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.

9

解法一：∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，

∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立. 2x＝3y，x＝6，由解得 xy＝24，y＝4.

故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小. 24解法二：由xy＝24，得x＝y.

961616

∴l＝4x＋6y＝y＋6y＝6y＋y≥6×2

y×y＝48， 

16

当且仅当y＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6. 故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.

10