一、选择题（本大题共3小题，共9.0分） 1.
b、c是三角形的三边长，设a、且𝑎2+𝑏2+𝑐2=𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎，关于此三角形有以下判断：①是等腰三角形；其中说法正确的个数是( ) ②是等边三角形；③是锐角三角形；④是直角三角形．
A. 4 个
2.
B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
下列说法正确的是( )
A. 若𝑎𝑏=0，则点P (𝑎,𝑏)表示原点 B. 点(1,𝑎)在第三象限
C. 己知点A (3,−3)与点𝐵(3,3)，则直线𝐴𝐵//𝑥轴 D. 若𝑎𝑏>0，则点𝑃(𝑎,𝑏)在第一、三象限
3.
如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=100°，AD是BC边上的中线，且𝐵𝐷=𝐵𝐸，则∠𝐴𝐷𝐸的大小为( )
A. 10° B. 20° C. 40° D. 70°
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分） 4. 5. 6.
6−12+1
比较大小：−2√3______3√2，√______√(填>、<或=)
22
比较下面两算式结果的大小：22+32 ______ 2×2×3．
∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，𝐶𝐸//𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐶=30°，如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D是BC的中点，若𝐴𝐶=2，则下列结论：①四边形ACED是平行四边形；②𝐴𝐷=4；③△𝐵𝐶𝐸是等腰三角形；④∠𝐶𝐸𝐵=100°；⑤四边形ACED的面积是
.其中正确的是________.(只填序号)
7. 如图，O为平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，EF经过点O，且与边AD、BC分别交于点E、𝐹.若𝐵𝐹=𝐷𝐸，则图中的全等三角形最多有______对．
8.
如图，点C在⊙ O上，将圆心角∠ AOB绕点O按逆时针方向旋转到∠ A′ OB′，旋转角为𝛼(0°<𝛼<180°).若∠ AOB=30°，∠ BCA′=40°，则∠ 𝛼=________°． 9.
在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为7cm和3cm，则它的周长为______cm．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分） 10.
四、解答题（本大题共1小题，共6.0分）
11. 如图，在△𝐴𝐸𝐶和△𝐷𝐹𝐵中，∠𝐸=∠𝐹，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：
①𝐴𝐸//𝐷𝐹，②𝐴𝐵=𝐶𝐷，③𝐶𝐸=𝐵𝐹．
12√1+1√+321√2+2√+⋯…+2531√24+24√25
(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写形式：“如果⊗，⊗，那么⊗”)； (2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：解：𝑎2+𝑏2+𝑐2=𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎， 2𝑎2+2𝑏2+2𝑐2=2𝑎𝑏+2𝑏𝑐+2𝑐𝑎， 即(𝑎−𝑏)2+(𝑏−𝑐)2+(𝑎−𝑐)2=0
∴𝑎=𝑏=𝑐，此三角形为等边三角形，同时也是等腰三角形，锐角三角形，不是直角三角形，说法正确的个数是3个． 故选：B．
根据已知条件和三角形三边关系判断三角形的形状．三边相等的为等边三角形，且一定也是等腰三角形和三个角都为60度的锐角三角形，又由于三角形按照角形可以分为直角三角形和斜三角形，除了直角三角形就是斜三角形，包括锐角三角形和钝角三角形，等边三角形也属于斜三角形． 此题要根据三角形三条边的关系判断三角形的形状，要知道两边相等的三角形为等腰三角形，三边相等的三角形为等边三角形，且等边三角形一定是等腰三角形、锐角三角形和斜三角形．另外还要知道平方差公式，如(𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2．
2.答案：D
解析：解：A、若𝑎𝑏=0，则点𝑃(𝑎,𝑏)表示在坐标轴上，故此选项不符合题意； B、当𝑎>0时，点(1,𝑎)在第一象限，故此选项不符合题意；
C、已知点𝐴 (3,−3)与点𝐵(3,3)，则直线𝐴𝐵//𝑦轴，故此选项不符合题意； D、若𝑎𝑏>0，则a、b同号，故点𝑃(𝑎,𝑏)在第一、三象限，故此选项符合题意． 故选：D．
直接利用坐标轴上点的坐标特点以及平行于坐标轴的直线上点的关系分别分析得出答案． 此题主要考查了坐标与图形的性质，正确把握点的坐标特点是解题关键．
3.答案：B
解析：解：∵△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=100°，AD是BC边上的中线， ∴∠𝐵=∠𝐶=2(180°−∠𝐵𝐴𝐶)=2(180°−100°)=40°，∠𝐴𝐷𝐵=90°，
∵𝐵𝐷=𝐵𝐸
11
∴∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐵𝐷𝐸=(180°−∠𝐵)=(180°−40°)=70°
22∴∠𝐴𝐷𝐸=90°−70°=20°．
1
1
故选：B．
由已知条件易得∠𝐵=40°，在△𝐵𝐸𝐷中根据等腰三角形的性质可得∠𝐵𝐷𝐸的度数，求其余角可得答案．
本题考查的是三角形内角和定理及等腰三角形的性质；做题时两次运用了等边对等角的性质及三角形内角和定理，要熟练掌握并能灵活应用这些知识．
4.答案：< <
解析：解：∵−2√3<0,3√2>0， ∴−2√3<3√2； ∵
√6−1√2+1−22
=
√6−√2−22
<0，
∴
√6−1√2+1
<
22
故答案为：<，<．
根据实数的大小判定规则，直接进行判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
5.答案：>
解析：解：22+32=4+9=13，2×2×3=12， ∵13>12，
∴22+32>2×2×3． 故答案是：>．
先通过计算出每个式子的结果，再比较其结果的大小即可求解．
本题考查了不等式．只要分别计算出两边的值，再根据比较实数大小的法则进行比较即可解决问题．
6.答案：①②③⑤
解析：
本题考查了平行四边形的性质和判定，线段垂直平分线的性质和等腰三角形性质，考查的知识点很多，分别利用相应的知识点即可解决．
对于①，用两组对边分别平行可证平行四边形；对于②，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，利用30°的角所对直角边是斜边的一边可以解决；对于③，利用线段垂直平分线性质可以证明；对于④，求出∠𝐵𝐶𝐸和∠𝐶𝐵𝐸即可得到∠𝐵𝐸𝐶的度数；对于⑤，根据平行四边形底乘以高可求出面积．
解：①∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶， ∴𝐴𝐶//𝐷𝐸， 又∵𝐶𝐸//𝐴𝐷，
∴四边形ACED是平行四边形； 故①正确．
②在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，∠𝐴𝐷𝐶=30°， ∴𝐴𝐷=2𝐴𝐶=4， 故②正确．
③∵𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，D是BC的中点， ∴𝐷𝐸是BC的垂直平分线，
∴𝐵𝐸=𝐶𝐸，即△𝐵𝐶𝐸是等腰三角形． 故③正确．
④∵四边形ACED是平行四边形， ∴𝐴𝐷//𝐶𝐸，
∴∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐴𝐷𝐶=30°． ∵△𝐵𝐶𝐸是等腰三角形， ∴∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐷𝐶𝐸=30°，
∴在△𝐵𝐶𝐸中，∠𝐵𝐸𝐶=180°−∠𝐶𝐵𝐸−∠𝐷𝐶𝐸=120°． 故④错误．
，
⑤在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，𝐶𝐷==2
∴平行四边形ACED的面积是=𝐴𝐶·𝐶𝐷=4．
故⑤正确．
7.答案：6
解析：解：∵𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形，
∴𝐴𝐵=𝐶𝐷，∠𝐶𝐵𝐴=∠𝐴𝐷𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐷， 在△𝐴𝐷𝐶和△𝐶𝐵𝐴中， {𝐶𝐷=𝐴𝐵 ∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐶𝐵𝐴 ， 𝐴𝐷=𝐶𝐵 ∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐵𝐴(𝑆𝐴𝑆)； 同理：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐷𝐵； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴𝑂𝐴=𝑂𝐶，𝑂𝐷=𝑂𝐵， 在△𝑂𝐴𝐷和△𝑂𝐶𝐵中， {𝑂𝐴=𝑂𝐶
∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐶𝑂𝐵 ， 𝑂𝐷=𝑂𝐵
∴△𝑂𝐴𝐷≌△𝑂𝐶𝐵(𝑆𝐴𝑆)； 同理：△𝑂𝐴𝐵≌△𝑂𝐶𝐷； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴∠𝑂𝐴𝐸=∠𝑂𝐶𝐹， 在△𝑂𝐸𝐴和△𝑂𝐹𝐶中， {∠𝑂𝐴𝐸=∠𝑂𝐶𝐹 𝑂𝐴=𝑂𝐶
， ∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐶𝑂𝐹
∴△𝑂𝐸𝐴≌△𝑂𝐹𝐶(𝐴𝑆𝐴)； 同理：△𝑂𝐸𝐷≌△𝑂𝐹𝐵． 图中的全等三角形最多有6对； 故答案为：6．
根据平行四边形的性质及已知条件得到图中全等的三角形：△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐵𝐴，△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐷𝐵，△𝑂𝐴𝐷≌△𝑂𝐶𝐵，△𝑂𝐴𝐵≌△𝑂𝐶𝐷，△𝑂𝐸𝐴≌△𝑂𝐹𝐶，△𝑂𝐸𝐷≌△𝑂𝐹𝐵共6对．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
8.答案：110
解析：本题综合考查圆内角的关系．根据圆心角与圆周角的关系得∠BOA′=2∠BCA′=80°，所以∠𝛼=∠AOB+∠BOA′=30°+80°=110°．
9.答案：17
解析：解：当7cm为腰，3cm为底，此时周长=7+7+3=17(𝑐𝑚)； 当7cm为底，3cm为腰，则3+3<7无法构成三角形，故舍去． 故其周长是17cm． 故答案为：17．
题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和7cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
10.答案：解：∵(𝑛+1)√𝑛+𝑛√𝑛+1=√𝑛(𝑛+1)×(√𝑛+1+√𝑛)=(√𝑛+1)×√𝑛=√𝑛−√𝑛+1 ∴
1
2√1+1√23√2+2√325√24+24√2511111=(1−)+(−)+⋯+(−)
22324√√√√√251=1− 54= 5解析：先将(𝑛+1)√𝑛+𝑛√𝑛+1化简，再据此将原式变形即可得出答案．
本题考查了分母有理化及二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
111√𝑛+1−√𝑛11+1
+⋯…+1
11.答案：解：(1)如果①②，那么③；如果①③，那么②；
(2)若选择如果①②，那么③， 证明：∵𝐴𝐸//𝐷𝐹， ∴∠𝐴=∠𝐷， ∵𝐴𝐵=𝐶𝐷，
∴𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐵𝐶+𝐶𝐷，即𝐴𝐶=𝐷𝐵，
在△𝐴𝐶𝐸和△𝐷𝐵𝐹中， ∠𝐸=∠𝐹{∠𝐴=∠𝐷， 𝐴𝐶=𝐷𝐵
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐵𝐹(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐶𝐸=𝐵𝐹；
若选择如果①③，那么②， 证明：∵𝐴𝐸//𝐷𝐹， ∴∠𝐴=∠𝐷， 在△𝐴𝐶𝐸和△𝐷𝐵𝐹中， ∠𝐸=∠𝐹{∠𝐴=∠𝐷， 𝐸𝐶=𝐹𝐵
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐵𝐹(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐶=𝐷𝐵，
∴𝐴𝐶−𝐵𝐶=𝐷𝐵−𝐵𝐶，即𝐴𝐵=𝐶𝐷．
解析：此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
(1)如果①②作为条件，③作为结论，得到的命题为真命题；如果①③作为条件，②作为结论，得到的命题为真命题，写成题中要求的形式即可；
(2)若选择如果①②，那么③，由AE与DF平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由𝐴𝐵=𝐷𝐶，等式左右两边都加上BC，得到𝐴𝐶=𝐷𝐵，又∠𝐸=∠𝐹，利用AAS即可得到三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等得到𝐶𝐸=𝐵𝐹，得证；
若选择如果①③，那么②，由AE与FD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由∠𝐸=∠𝐹，𝐶𝐸=𝐵𝐹，利用AAS可得出三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等可得出𝐴𝐶=𝐵𝐷，等式左右两边都减去BC，得到𝐴𝐵=𝐶𝐷，得证．
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