圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题
一、选择题
1．设AB为过抛物线y＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为( ) A． B．p C．2p D．无法确定 2答案 C
解析 当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短，这时x＝，∴y＝±p，|AB|min＝2p．故选C．
22．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|
412＋|PA|的最小值为( )
A．4 B．6 C．8 D．9 答案 D
解析 注意到P点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为F′(4，0)，于是由双曲线定义得|PF|－|PF′|＝2a＝4，故|PF|＋|PA|＝2a＋|PF′|＋|PA|≥4＋|AF′|＝9，当且仅当
2
ppx2y2
A，P，F′三点共线时等号成立．故选D．
3．已知M(x0，y0)为抛物线C：x＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0，2) B．[0，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 答案 C
解析 由题意知圆心F到抛物线的准线的距离为4，且|FM|>4，根据抛物线的定义知|FM|＝y0＋2，所以y0＋2>4，得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．
4．过椭圆＋＝1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则
2516△PQF周长的最小值是( )
A．14 B．16 C．18 D．20 答案 C
解析 如图，设F为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|FQ|＝|PF2|，|OP|＝|OQ|，所以△PQF的周长为|PF|＋|FQ|＋|PQ|＝|PF|＋|PF2|＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10＋2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，△PQF的周长取得最小值10＋2×4＝18．故选C．
5．(2018·豫南九校联考)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y2
x2y2
＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A．51025210 B． C． D． 5555
答案 A
解析 点A关于直线l：y＝x＋3的对称点A′(－3，2)，连接A′B与直线l相交，当点P在交点处时，2a＝|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＝|A′B|＝25，此时a取得最小值5，又c＝1，所以椭圆C的离心率的最大值为
5
，故选A． 5
→
6．(2019·厦门一中开学考试)已知△ABC三个顶点A，B，C都在曲线＋＝1上，且BC94→
＋2OB＝0(其中O为坐标原点)，M，N分别为AB，AC的中点，若直线OM，ON的斜率存在且分别为k1，k2，则|k1|＋|k2|的取值范围为( )
8
A．，＋∞ B．[0，＋∞) 944
C．0， D．，＋∞
33答案 D
解析 由于A，B都在曲线＋＝1上，则有＋＝1，＋＝1，两式相减并整理可
949494
2
y24A－yB→→→→得22＝－，由BC＋2OB＝0知，BC＝－2OB，则B，C关于坐标原点对称，而M，N分别为xA－xB9
x2y2
x2y2x2y2AAx2y2BBAB，AC的中点，则k1＝kAC，k2＝kAB，则|k1|＋|k2|＝|kAC|＋|kAB|≥2|kAB||kAC|＝
2×
yA－yByA－yC·＝2 xA－xBxA－xCyA－yByA＋yB·＝2xA－xBxA＋xB2y24A－yB当且仅当|kAB|＝|kAC|时，等号22＝，
xA－xB3
成立．故选D．
二、填空题
7．(2018·湖北黄冈中学二模)设椭圆＋y＝1上任意一点A到两条直线x±2y＝0的
4距离分别为d1，d2，则d1d2的最大值为________．
x2
2
4答案 5解析
设点
A的坐标为(2cosα，sinα)，则d1d2＝
|2cosα＋2sinα||2cosα－2sinα|4|cos2α|44
·＝≤，所以d1d2的最大值为．
55555
8．(2018·河南六市联考一)已知P是双曲线C：－y＝1右支上一点，直线l是双曲
2线的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值是________．
答案 1＋22
解析 设双曲线的右焦点为F2(3，0)，不妨设渐近线l：x－2y＝0，则点F2(3，0)到渐近线l的距离为1，由于点P在双曲线右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，|PF1|＝22＋|PF2|，|PF1|＋|PQ|＝22＋|PF2|＋|PQ|≥22＋1，当且仅当点Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时取等号，故|PF1|＋|PQ|的最小值是1＋22．
9．(2018·厦门质检一)过抛物线E：y＝4x焦点的直线l与E交于A，B两点，E在点
2
x2
2
A，B处的切线分别与y轴交于C，D两点，则42|CD|－|AB|的最大值是________．
答案 8
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线AC的方程为x＝t(y－y1)＋x1＝t(y－y1)＋，代4入抛物线的方程，消去x，得y－4ty＋4ty1－y1＝0．由Δ＝16t－4(4ty1－y1)＝0，得t＝
2
2
2
2
y21
y1
，所以直线AC的方程为x＝(y－y1)＋，其中令x＝0，得yC＝，同理可求得yD＝，
22422
y1y21y1y2
1
所以|CD|＝|y1－y2|．由题意，知抛物线的焦点为F(1，0)，则设直线AB的方程为x＝my2＋1，代入抛物线的方程，消去x，得y－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以42|CD|－|AB|＝2
2
2
2
2|y1－y2|－
2
1＋m·|y1－y2|＝2
2
2
2
2
y1＋y2－4y1y2－
2
2
1＋m·y1＋y2－4y1y2＝821＋m－4(1＋m)＝－4×(1＋m－2)＋8，所以当1＋m＝2时，42|CD|－|AB|取得最大值为8． 三、解答题
10．(2018·济南模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：x＝4y，直线l与抛物线
2
2
C1交于A，B两点．
1
(1)若直线OA，OB的斜率之积为－，证明：直线l过定点；
4
12
(2)若线段AB的中点M在曲线C2：y＝4－x(－22 (1)证明：由题意可知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx＋m， x＝4y，由y＝kx＋m， 2 2 得x－4kx－4m＝0， 2 则Δ＝16(k＋m)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m， 1212 x1·x2 4y1·y24x1·x2m∴kOA·kOB＝＝＝＝－， x1·x2x1·x21641 由已知kOA·kOB＝－，得m＝1， 4 ∴直线l的方程为y＝kx＋1，∴直线l过定点(0，1)． (2)设M(x0，y0)，则由(1)知x0＝ x1＋x2 2 ＝2k， y0＝kx0＋m＝2k2＋m， 121222 将M(x0，y0)代入C2：y＝4－x(－22 |AB|＝42·k＋12－k≤ 2 2 22 2 222 2 2 2 k＋1＋2－k42·＝62， 2当且仅当k＋1＝2－k，即k＝±故|AB|的最大值为62． 2 2 22 2 时取等号， 2 x2y2 11．(2018·湖南六校联考)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为M，N， ab点P是椭圆上异于点M，N的任意一点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM，kPN，满足kPM·kPN3＝－． 4 (1)求椭圆C的离心率； (2)设椭圆C的左焦点为F(－c，0)，过点F的直线AB交椭圆于A，B两点，AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点．记△GFD的面积为2S1S2 S1，△OED的面积为S2，求22的取值范围． S1＋S2 x2y200 解 (1)设P(x0，y0)，则2＋2＝1， abb2 即2＝－2， x0－a2a因为kPM·kPN＝ 3 ＝－， x0＋ax0－a4 · y20 y0y0 b23 所以－2＝－， a4 又a＝b＋c，则有a＝4c，a＝2c， 2 2 2 2 2 c1因此椭圆C的离心率e＝＝． a2 (2)由(1)可知a＝2c，b＝a－c＝3c， 2 2 x2y2 则椭圆的方程为2＋2＝1． 4c3c根据条件知直线AB的斜率一定存在且不为零， 设直线AB的方程为y＝k(x＋c)， A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(xD，0)， y＝kx＋c，2 联立xy2 2＋2＝1，4c3c2 2 2 消去y并整理得 (4k＋3)x＋8ckx＋4kc－12c＝0， 222 8ck从而有x1＋x2＝－2， 4k＋3 2 y1＋y2＝k(x1＋x2＋2c)＝ 2 6ck， 2 4k＋3 4ck3ck所以G－2，2． 4k＋34k＋3 3ck24k＋3 因为DG⊥AB，所以·k＝－1， 24ck－2－xD4k＋3 ck2 解得xD＝－2． 4k＋3 由Rt△FGD与Rt△EOD相似， 4ckck23ck2－2＋2＋22 4k＋34k＋34k＋3S1GD9 所以＝2＝＝9＋2>9， 2 S2ODck2k－2 4k＋3令＝t，则t>9，从而 2 2 S1S2 2S1S2229 <＝， 22＝ S1＋S21141 t＋9＋t9 即 2S1S29． 22的取值范围是0， S1＋S241 12．(2018·合肥质检二)已知点A(1，0)和动点B，以线段AB为直径的圆内切于圆O： x2＋y2＝4． (1)求动点B的轨迹方程； (2)已知点P(2，0)，Q(2，－1)，经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M，N两点，求证：直线PM与直线PN的斜率之和为定值． 解 (1)如图，设以线段AB为直径的圆的圆心为C，取A′(－1，0)． 依题意，圆C内切于圆O， 设切点为D，则O，C，D三点共线． ∵O为AA′的中点，C为AB的中点， ∴|A′B|＝2|OC|． ∴|BA′|＋|BA| ＝2|OC|＋2|AC|＝2|OC|＋2|CD| ＝2|OD|＝4>|AA′|＝2． 依椭圆的定义可知，动点B的轨迹为椭圆， x2y2 设为2＋2＝1(a>b>0)，其中|BA′|＋|BA|＝2a＝4，|AA′|＝2c＝2， ab∴a＝2，c＝1，∴b＝a－c＝3， ∴动点B的轨迹方程为＋＝1． 43 (2)证明：当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x＝2，此时直线l与椭圆＋＝1 43相切，与题意不符； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)． 2 2 2 x2y2 x2y2 y＋1＝kx－2，22由xy＋＝1，43 2 2 2 得(4k＋3)x－(16k＋8k)x＋16k＋16k－8＝0． 22 设M(x，y)，N(x，y)，则16k＋16k－8 xx＝，4k＋3 1 1 2 2 12 2 16k＋8kx1＋x2＝2， 4k＋3 2 1 由Δ＝96(1－2k)>0⇒k<． 2∴kPM＋kPN＝＝ ＋ x1－2x2－2 y1y2 kx1－2－1kx2－2－111 ＋＝2k－＋ x1－2x2－2x1－2x2－2 x1＋x2－4＝2k－ x1－2x2－2 ＝2k－ x1＋x2－4 x1x2－2x1＋x2＋4 2 16k＋8k－42 4k＋3 ＝2k－ 22 16k＋16k－816k＋8k－22＋42 4k＋34k＋3＝2k＋3－2k＝3，为定值． 13．(2018·石家庄二中模拟)已知F1，F2为椭圆C：＋y＝1的左、右焦点，过椭圆长 2轴上一点M(m，0)(不含端点)作一条直线l，交椭圆于A，B两点． x2 2 (1)若直线AF2，AB，BF2的斜率依次成等差数列(公差不为0)，求实数m的取值范围； 1 (2)若过点P0，－的直线交椭圆C于E，F两点，则以EF为直径的圆是否恒过定点？ 3若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 解 (1)由题意知F1(－1，0)，F2(1，0)， 直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为y＝k(x－m)(k≠0)， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＝k(x1－m)，y2＝k(x2－m)， 因为即 ＋＝2k， x1－1x2－1 y1y2 kx1－mkx2－m ＋＝2k， x1－1x2－1 整理得(x1＋x2)(1－m)＝2(1－m)，且公差不为0， 所以x1＋x2＝2， y＝kx－m，2 由x2 ＋y＝1，2 2 2 2 得(1＋2k)x－4kmx＋2km－2＝0， 4km12 由x1＋x2＝>0， 2＝2，得k＝ 1＋2k2m－1所以m>1． 又点M(m，0)在椭圆长轴上(不含端点)， 所以1 12162 当EF⊥y轴时，以EF为直径的圆的方程为x＋y＋＝，则两圆的交点为Q(0，1)． 39下证当直线EF的斜率存在且不为0时，点Q(0，1)在以EF为直径的圆上． 1 设直线EF的方程为y＝k0x－(k0≠0)， 3 416222 代入＋y＝1，整理得(2k0＋1)x－k0x－＝0， 239设E(x3，y3)，F(x4，y4)， 4k0－16则x3＋x4＝，x3x4＝， 22 32k0＋192k0＋1 2 2 2 22 x2 →→ 又QE＝(x3，y3－1)，QF＝(x4，y4－1)， →→ 所以QE·QF＝x3x4＋(y3－1)(y4－1) 44 ＝x3x4＋k0x3－k0x4－ 334162 ＝(1＋k0)x3x4－k0(x3＋x4)＋ 39 －1644k0162 ＝(1＋k0)·－k0·＋＝0， 22 92k0＋1332k0＋19所以点Q(0，1)在以EF为直径的圆上． 综上，以EF为直径的圆恒过定点Q(0，1)． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容