不确定度教程

二、重点难点：掌握测量不确定度常用方法和应用实例。 大纲要求：

1、掌握标准不确定度A类评定方法 2、掌握合成标准不确定度的计算方法 3.掌握测量不确定度应用实例 一、测量不确定度的评定

1.测量模型的建立被测量指的是作为测量对象的特定量。在实际测量的很多情况下，被测量Y（输出量）不能直接测得，而是由N个其他量X1，X2，…，XN（输入量）通过函数关系f来确定的：

Y=f（Xl，X2，…，XN） （5.5—1）

上式表示的这种函数关系，就称为测量模型，或测量过程的数学模型。

测量模型f代表所使用的测量程序和评定方法，它描述如何从输入量Xi的值求得输出量Y的值。输入量X1，X2，…，XN本身可看做被测量，也可能取决于其他量，甚至包括系统效应的修正值和修正因子，因此，函数关系式f可能非常复杂，以至于不能明确地表示出来。当然，数学模型有时也可能简单到Y=X.例如：用卡尺测量工件的尺寸，工件的尺寸就等于卡尺的示值。

数学模型不是惟一的。采用不同的测量方法和不同的测量程序，就可能有不同的数学模型。例如：一个随温度t变化的电阻器两端的电压为V，在温度为t0时的电阻为R0，电阻器的温度系数为a，则电阻器的损耗功率P（输出量或被测量）取决于V，R0，a和t （输人量），即：

P=f（V，R0，a，t）=V2/R0[1+a（t-t0）] （5.5-2）

同样是测量该电阻器的损耗功率P，我们也可采用测量其端电压和流经电阻的电流I来获得，则P的数学模型就变成： P=f（V，I）=VI （5.5—3）

数学模型可用已知的物理公式求得，也可用实验的方法确定，有时甚至只能用数值方程给出。如果数据表明，f未能将测量过程模型化至测量所要求的准确度，则必须在f中增加其他输入量，即增加影响量。例如：在电阻功率的测量中，增加电阻上已知的温度非均匀分布、电阻温度系数的非线性关系、电阻值与大气压力的关系等，直至测量结果满足要求。 在输入量Xl，X2，…，XN中，一类是当前直接测定的量，其值和不确定度得自于单一观测、重复观测，或依据经验的调整等，并可能涉及仪器读数的修正值，以及诸如环境温度、大气压力、湿度等影响量修正值的确定。而另一类则是从外部引入的量，例如：与已校准的测量标准、有证参考物质相关的量，或从手册中查出的参考数据等。

设式（5.5-1）中被测量Y的估计值，即输出估计值为y，输入量Xi的估计值，即输入估计值为xi，则有： y=f（x1，x2…，xN） （5.5-4）

在此，输入值是经过对模型中所有主要系统效应的影响修正的最佳估计值。否则，须将必要的修正值作为独立的输入量引人测量模型中。

对于一随机变量，可以使用其分布方差或方差的正平方根，即标准差，来量度其值的分散性。与输出估计值或测量结果y相关的测量标准不确定度u（y），是被测量Y的标准差，它是通过与输入估计值相关的标准差，即标准不确定度u（xi）来确定的。与估计值相联系的标准不确定度具有与估计值相同的量纲。在有些情况下，使用相对标准不确定度，即估计值的测量不确定度除以估计值的模，可能更为适当，它的量纲为1.当估计值等于0时，相对不确定度的概念不适用。

2.输入估计值测量不确定度的评定（1）概述与输入估计值相关的测量不确定度，采用“A类”或采用“B类”方法评定。

（2）标准不确定度的A类评定当在相同的测量条件下，对某一输入量进行若干次独立的观测时，可采用标准不确定度的A类评定方法。

假定重复测量的输入量Xi为量Q.若在相同的测量条件下进行n（n>1）次独立的观测，量Q的估计值为各个独立观测值qj （j=1，2，…，n）的算术平均值

与输入估计值 相关的测量不确定度可按以下方法之一评定：（a）值qj的实验方差s2（q）是概率分布方差的估计值，可按下式计算

值得注意的是，一般而言，当重复测量次数n较小（n[例5.5-1] 对一等标准活塞压力计的有效面积进行测量。在各种压力下，测得10次活塞有效面积S0与工作基准活塞面积Ss之比Li如下：

0.250 670 0.250 673 0.250 670 0.250 671 0.250 675 0.250 671 0.250 675 0.250 670 0.250 673 0.250 670

（b）对于特性比较明确且处于统计控制之下的测量过程来说，使用所获得的合并样本标准差sp来描述分散性，可能比采用通过有限次数的观测值获得的标准差更为合适。sp为测量过程长期的组内方差平均值的平方根。在此情况下，若输入量Q的值由非常 有限的n次独立观测值的平均值 求得，则平均值的方差可按下式估计：

根据该值，按式（5.5-8）即可求出标准不确定度。

[例5.5-2] 在实行量块的测量保证方案时，为使实验处于控制状态，要以核查标准量块来建立单个量块的标准差。若第1次核查时的样本标准差为s1=0.015μm，第2次核查时的样本标准差为s2=0.013μm，则两次核查的合并样本标准差sp为0.014μm（条件为两样本标准差无显著差异）。若以sp核查标准量块的合并样本标准差，用以考察任一次测量（设两次的测量次数均为n=6），则标准不确定度u（x）为：

（3）标准不确定度的B类评定B类标准不确定度评定是用不同于对观测列统计分析的方法，来评定与输入量Xi的估计值xi相关的不确定度。即根据所有可获得的关于xi可能变异性的信息，做出科学的、经验的判断，来评定标准不确定度u（xi）。用于不确定度B类评定的信息来源一般包括：①以前的观测数据；②对有关材料和仪器特性的了解和经验；③生产部门提供的技术说明文件；④校准证书、检定证书或其他文件提供的数据；⑤手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；⑥规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限或复现性限。运用所掌握的信息进行测量不确定度的B类评定，要求有一定的知识、经验和技巧。适当评出的B类标准不确定度，可与A类标准不确定度一样可靠。 B类不确定度评定的最常用方法有以下四种：（a）已知扩展不确定度和包含因子如输入估计值xi来源于制造部门的说明书、校准证书、手册或其他资料，其中同时还明确给出其扩展不确定度U（xi）及包含因子k的大小，则与输入估计值相关的标准不确定度u（xi）为：

u（xi）=U（xi）/k

（5.5—10）

[例5.5-3]校准证书上指出，标称值为1kg的砝码的实际质量m=1000.00032g，并说明按包含因子k=3给出的扩展不确定度U=0.24mg.则由该砝码导致的测量标准不确定度分量u（m）为：

u（m）=0.24mg/3=80μg 相对标准不确定度为： urel（m）=u（m）/m=80×10-9

（b）已知扩展不确定度和置信水平的正态分布如果给出xi在一定置信水平p下的置信区间的半宽，即扩展不确定度Up，除非另有说明，一般按正态分布来评定其标准不确定度u（xi），即：

u（xi）=Up/kp （5.5-11）

其中，kp——置信水平p下的包含因子。

正态分布的置信水平p（置信概率）与包含因子kp之间存在着下表所示的关系。 表5.5-1 正态分布下置信水平p与包含因子kp间的关系

p(％) kp 50 0.67 68.27 1 90 1.645 95 1.960 95.45 2 99 2.576 99.73 3 [例5.5-4] 校准证书上给出标称值为10Ω的标准电阻器的电阻Rs在23℃时为：Rs（23℃）=（10.00074±0.00013）Ω同时说明置信水平p=99％。

由于U99=0.13mΩ，按表5.5-1，kp=2.576，故其标准不确定度u（Rs）=0.13mΩ/2.576=50μΩ。

（c）其他几种常见的分布除了正态分布外，其他常见的分布有t分布、均匀分布、反正弦分布、三角分布、梯形分布、两点分布等。

若只知道输入量的估计值xi分散区间的上限和下限分别为a+和a-（例如测量仪器的出厂指标、温度范围、由自动数据简化引起的舍入或截断误差），则只能保守一些假定输入量Xi在上、下限之间的概率分布为均匀（矩形）分布。按照上述情况（b）的做法，输入估计值xi及其标准不确定度u（xi）分别为： xi= （a+ + a-）／2 （5.5-12）

u2（xi）=（a+ - a-）2／12 （5.5-13）

如果上、下限之差用2a表示，即a+ - a- = 2a，则：或：

[例5.5-5]手册中给出纯铜在20℃时的线膨胀系数a20（Cu）为16.52x10-6℃-1，并说明此值的变化范围不超过±0.40x10-6℃-1.保守一些假定a20（Cu）在此区间内为均匀分布，则线膨胀系数的标准不确定度u（a）为：u（a）=0.40x 10-6℃-1/1.73=0.23x10-6℃-1.（d）由重复性限或再现性限求不确定度在规定实验方法的国家标准或类似技术文件中，按规定的测量条件，当明确指出输入量的两次测得值之差的重复性限r或再现性限R时，如无特殊说明，则输入估计值的标准不确定度为： u（xi）=r／2.83 （5.5-16）

或 u（xi）=R／2.83 （5.5-17）

这里，重复性限r或再现性限R的置信水平为95%，并作为正态分布处理。 3.输出估计值标准不确定度的计算（1）当全部输入量彼此独立或不相关时，与输出估计值y相关的标准不确定度，即合成标准不确定度，由下式得出：

灵敏系数ci表示输出估计值y随输入估计值xi的变化而变化的程度。它可以从模型函数f按式（5.5-20）评定，或采用数值方法计算，即分别计算因输入估计值xi的+u（xi）和-u（xi）的变化而引起的输出估计值y的变化，所得的y值之差除以2u（xi）即为ci的值。有时，可以通过实验，例如分别在xi土u（xi）重复测量，找出输出估计值y的变化以求出ci的值。

如果模型函数f是输入量xi的和或差，也就是说y和x的函数关系是和差的函数关系，用公式表达即：

在这种情况下，灵敏系数等于piy/xi，如果采用相对标准不确定度w（y）=u（y）/｜y｜和w（xi）=u（xi）/｜xi｜的话，可以得到与式（5.5-23）类似的表达式：

（2）当两个输入量Xi和Xk之间有一定程度的相关性时，即它们之间不是相互独立的，那么，其协方差也应作为不确定度的一个分量来考虑。在以下情况下，与两个输入量xi和Xk的估计值相关的协方差可以认为是零或影响非常小：（a）输入量Xi和Xk相互独立，例如，它们是在不同的独立实验中重复而且非同时测得的，或它们分别代表独立进行的不同评定所得出的量；（b）输入量Xi和Xk中的一个可作为常量看待；（c）研究表明，输入量Xi和Xk之间没有相关性的迹象。

有时，可以通过改变测量程序来避免发生相关性，或者使协方差减小到可以忽略不计的程度。例如：通过改变所使用的同一台标准器等。4.扩展不确定度的评定扩展不确定度是确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。实际上，扩展不确定度是将输出估计值的标准不确定度u（y）扩展了k倍后得到的，这里的k称为包含因子。即：U=ku（y） （5.5—27）

k值一般为2，有时为3，这取决于被测量的重要性、效益和风险。当可以赋予被测量正态分布，且与输出估计值相关的标准差的可靠性足够高时，包含因子k=2，这代表扩展不确定度的包含概率约为95％。

扩展不确定度是测量结果取值区间的半宽，该区间可期望包含了被测量之值分布的大部分。而测量结果的取值区间在被测量值概率分布中所包含的百分数，称为该区间的置信水平或置信概率，用符号p表示。与置信水平相联系的扩展不确定度，用符号UP表示。例如：若合理地赋予被测量之值的分散区间包含全部的测得值，则此区间的置信概率为p=100%，扩展不确定度用U100表示，它就是置信区间的半宽，通常用符号a表示。若只包含95%的被测量之值，则此区间称为置信概率为p=95%的置信区间，其半宽就是扩展不确定度U95；类似地，若要求99%的概率，则半宽为U99.显然，U9599