相山区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

相山区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知命题p：存在x0＞0，使2A．对任意x＞0，都有2x≥1 C．存在x0＞0，使2

＜1，则￢p是（ ）

＜1

B．对任意x≤0，都有2x＜1

≥1 D．存在x0≤0，使2

2． 函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示：函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（ ）

A．14 B．12 C．10

D．8

3． 有下列说法：

①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适． ②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越小，说明模型的拟合效果越好．

③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．

其中正确命题的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2

4． lgx，lgy，lgz成等差数列是由y2=zx成立的（ ） A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

D．3

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5． 如果向量满足，且，则的夹角大小为（ ） A．30° B．45° C．75° D．135°

3x4y110与圆C：3x4y40上任意6． 已知直线m：(x2)2y24交于A、B两点，P为直线n：一点，则PAB的面积为（ ）

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精选高中模拟试卷

A．23 B.

33 C. 33 D. 43 27． 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）

A． B． C． D．

8． 若命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则该命题的否定是（ ） A．∀x∈R，2x2﹣1＜0 B．∀x∈R，2x2﹣1≤0 C．∃x∈R，2x2﹣1≤0

9． 下列四个命题中的真命题是（ ）

D．∃x∈R，2x2﹣1＞0

A．经过定点P0x0,y0的直线都可以用方程yy0kxx0表示

B．经过任意两个不同点P1x1,y1、P2x2,y2的直线都可以用方程yy1x2x1xx1y2y1 表示

xy1表示 abD．经过定点A0,b的直线都可以用方程ykxb表示

C．不经过原点的直线都可以用方程

10．随机变量x1～N（2，1），x2～N（4，1），若P（x1＜3）=P（x2≥a），则a=（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

，则f（1）=（ ）

D．3

211．设函数f（x）=A．0

B．1

C．2

12．已知函数f(x)2alnxx2x（aR）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ）

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精选高中模拟试卷

A．

11 B． C． D． 42______.

的单调递增区间是 ． = ．

二、填空题

13．设全集14．函数

15．（﹣）0+[（﹣2）3]

16．函数f(x)x22(a1)x2在区间(,4]上递减，则实数的取值范围是 ．

17．如图，一船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为 km．

22

18．0）3）已知点A（2，，点B（0，，点C在圆x+y=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为 ．

三、解答题

19．已知函数f（x）=x﹣1+

（a∈R，e为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值； （Ⅱ）求函数f（x）的极值；

（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．

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精选高中模拟试卷

20．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是

月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）． （1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式； 利润预计最大是多少元？

21．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值． （Ⅰ）求c的取值范围；

且x≤12），该商品的进价q（x）元与

（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月

2

（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d+2d恒成立，求d的取值范围．

22．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位 得到的数据： 赞同 男 女 合计 50 30 80 反对 150 170 320 合计 200 200 400 （Ⅰ）能否有能否有97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关？

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精选高中模拟试卷

（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出3人进行陈述 发言，设发言的女士人数为X，求X的分布列和期望．

n(adbc)2参考公式：K，(nabcd)

(ab)(cd)(ac)(bd)2

23．已知椭圆x2+4y2=4，直线l：y=x+m （1）若l与椭圆有一个公共点，求m的值；

（2）若l与椭圆相交于P、Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．

24．已知函数f（x）=lnx的反函数为g（x）．

（Ⅰ）若直线l：y=k1x是函数y=f（﹣x）的图象的切线，直线m：y=k2x是函数y=g（x）图象的切线，求证：l⊥m；

（Ⅱ）设a，b∈R，且a≠b，P=g（大小，并说明理由．

），Q=

，R=

，试比较P，Q，R的

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精选高中模拟试卷

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相山区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：∵命题p：存在x0＞0，使2故选：A

2． 【答案】A

【解析】解：由图象可知， 若f（g（x））=0，

则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1； 由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1； g（x）=0时，x的值有3个； g（x）=1时，x=2或x=﹣2； 故m=7；

若g（f（x））=0，

则f（x）=﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0； 由图1知，

f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5各有2个； f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0； 故n=7； 故m+n=14；

故选：A．

3． 【答案】C

【解析】解：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，正确．

②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好，因此②不正确．

③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确．

综上可知：其中正确命题的是①③． 故选：C．

＜1为特称命题，

x

∴￢p为全称命题，即对任意x＞0，都有2≥1．

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【点评】本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义，考查了理解能力和推理能力，属于中档题．

4． 【答案】A

2

【解析】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy=lgx•lgz，即y=zx，∴充分性成立，

2

因为y=zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，

故选：A．

【点评】本题主要考查了等差数列和函数的基本性质，以及充分必要行得证明，是高考的常考类型，同学们要加强练习，属于基础题．

5． 【答案】B

【解析】解：由题意故两向量夹角的余弦值为故两向量夹角的取值范围是45° 故选B

=

故

，即

【点评】本题考点是数量积表示两个向量的夹角，考查利用向量内积公式的变形形式求向量夹角的余弦，并进而求出两向量的夹角．属于基础公式应用题．

6． 【答案】 C

【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.

圆心C到直线m的距离d1，|AB|2r2d223，两平行直线m、n之间的距离为d3，∴PAB的面积为

1|AB|d33，选C． 27． 【答案】 A

【解析】解：由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为2， ∴母线长为

，

=2+

．

2

圆锥的表面积S=S底面+S侧面=×π×1+×2×2+×π×

故选A．

【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．

8． 【答案】C

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2

【解析】解：命题p：∀x∈R，2x﹣1＞0，

则其否命题为：∃x∈R，2x﹣1≤0，

2

故选C；

【点评】此题主要考查命题否定的定义，是一道基础题；

9． 【答案】B 【解析】

考

点：直线方程的形式.

【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式，对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线；直线的斜截式方程只能表示斜率存在的直线；直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线；直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行和过原点的直线，此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111] 10．【答案】C

【解析】解：随机变量x1～N（2，1），图象关于x=2对称，x2～N（4，1），图象关于x=4对称， 因为P（x1＜3）=P（x2≥a）， 所以3﹣2=4﹣a， 所以a=3， 故选：C．

【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．

11．【答案】D

【解析】解：∵f（x）=f（1）=f[f（7）]=f（5）=3． 故选：D．

12．【答案】A 【解析】

，

2x22x2a2试题分析：由题意知函数定义域为(0,)，f(x)，因为函数f(x)2alnxx2xx'第 9 页，共 16 页

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（aR）在定义域上为单调递增函数f'(x)0在定义域上恒成立，转化为h(x)2x22x2a在(0,)恒成立，0,a1，故选A. 1 4考点：导数与函数的单调性．

二、填空题

13．【答案】{7，9}

【解析】∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}， ∴（∁UA）={4，6，7，9 }，∴（∁UA）∩B={7，9}， 故答案为：{7，9}。 14．【答案】 [2，3） ．

2

【解析】解：令t=﹣3+4x﹣x＞0，求得1＜x＜3，则y=

，

本题即求函数t在（1，3）上的减区间．

利用二次函数的性质可得函数t在（1，3）上的减区间为[2，3）， 故答案为：[2，3）．

15．【答案】

03

【解析】解：（﹣）+[（﹣2）]

．

=1+（﹣2）﹣2 =1+=． 故答案为：．

16．【答案】a3 【解析】

试题分析：函数fx图象开口向上，对称轴为x1a，函数在区间(,4]上递减，所以1a4,a3. 考点：二次函数图象与性质．

17．【答案】

【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°， 在△ABC中，根据正弦定理得：BC=

=

海里，

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则这时船与灯塔的距离为故答案为

．

海里．

18．【答案】 （

，

） ．

22

【解析】解：设C（a，b）．则a+b=1，① ∵点A（2，0），点B（0，3）， ∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．

如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短． 则CF=∴a=

，②

≥ ，b=，，

， ）． ）．

，当且仅当2a=3b时，取“=”，

联立①②求得：a=故点C的坐标为（故答案是：（

【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+

，得f′（x）=1﹣

，

又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴， ∴f′（1）=0，即1﹣（Ⅱ）f′（x）=1﹣

=0，解得a=e． ，

①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值； ②当a＞0时，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna，

x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0； ∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， 故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．

综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值． （Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+

，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+

，

则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点， 等价于方程g（x）=0在R上没有实数解． 假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（

）=﹣1+

＜0，

又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解， 与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1． 又k=1时，g（x）=

＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，

所以k的最大值为1．

20．【答案】

【解析】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37. 当2≤x≤12时，

且x≤12）

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22

验证x=1符合f（x）=﹣3x+40x，∴f（x）=﹣3x+40x（x∈N*且x≤12）．该商场预计销售该商品的月利润为

g（x）=（﹣3x2+40x）（185﹣150﹣2x）=6x3﹣185x2+1400x，（x∈N*且x≤12），

（舍

322

令h（x）=6x﹣185x+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x﹣370x+1400，令h'（x）=0，解得

去）．＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0． 综上，5月份的月利润最大是3125元.

∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．max=g（5）=3125（元）．

【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．

21．【答案】

32

【解析】解（Ⅰ）∵f（x）=x﹣x+cx+d，

22

∴f′（x）=x﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x﹣x+c=0有两个实数解，

从而△=1﹣4c＞0， ∴c＜．

（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值， ∴f′（2）=4﹣2+c=0， ∴c=﹣2．

32

∴f（x）=x﹣x﹣2x+d，

2

∵f′（x）=x﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），

∴当x∈（﹣∞，﹣1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（﹣1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减． ∴x＜0时，f（x）在x=﹣1处取得最大值∵x＜0时，f（x）＜∴

＜

恒成立，

，

，即（d+7）（d﹣1）＞0，

∴d＜﹣7或d＞1，

即d的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．

【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．

22．【答案】

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【解析】【命题意图】本题考查统计案例、超几何分布、分层抽样等基础知识，意在考查统计思想和基本运算能力．

X的分布列为： X P 0 1 2 3

5 2815 2815 561 56X的数学期望为

5151519EX0123 ………………12

282856568分

23．【答案】

【解析】解：（1）把直线y=x+m代入椭圆方程得：x2+4（x+m）2=4，即：5x2+8mx+4m2﹣4=0， △=（8m）2﹣4×5×（4m2﹣4）=﹣16m2+80=0 解得：m=

．

（2）设该直线与椭圆相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1，x2是方程5x2+8mx+4m2﹣4=0的两根， 由韦达定理可得：x1+x2=﹣∴|AB|=

，x1•x2=

==2；

∴m=±

．

，

=

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与弦长问题，难点在于弦长公式的灵活应用，属于中档题．

24．【答案】

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【解析】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=lnx的反函数为g（x）．

x

∴g（x）=e．，f（﹣x）=ln（﹣x），

则函数的导数g′（x）=e，f′（x）=，（x＜0），

x

设直线m与g（x）相切与点（x1，则切线斜率k2=

=

），

，则x1=1，k2=e，

=

，则x2=﹣e，k1=﹣，

设直线l与f（x）相切与点（x2，ln（﹣x2）），则切线斜率k1=故k2k1=﹣×e=﹣1，则l⊥m． （Ⅱ）不妨设a＞b， ∵P﹣R=g（∵P﹣Q=g（

）﹣）﹣

==

﹣﹣

=﹣

＜0，∴P＜R，

==，

xxxx

令φ（x）=2x﹣e+e﹣，则φ′（x）=2﹣e﹣e﹣＜0，则φ（x）在（0，+∞）上为减函数，

故φ（x）＜φ（0）=0， 取x=

，则a﹣b﹣

⇔

令t（x）=﹣1+则t′（x）=﹣

，

=

≥0，

+

＜0，∴P＜Q， =

=1﹣

则t（x）在（0，+∞）上单调递增， 故t（x）＞t（0）=0， 取x=a﹣b，则∴R＞Q， 综上，P＜Q＜R，

﹣1+

＞0，

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【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．

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