用线性规划方法巧解一道竞赛题

斗由 3a2 一 3ab 一 3b2 M -寻(a + 2b)2 ,得 1 一(a +

26)2 m_¥(a +20)2,解得-2 Wa + 26 W2,当且

仅当a =0,b =-1时取得最小值;a =0,6 = 1时取

得最大值.1'则匚七的最大值为字•证明：由 1 二 /+ab+ 462 m 5ab，得 0 < ab W *；又 a +26 三 2 J2ab 三 J^，故。< a + 2b 三

点评：改变元素a和6的状态，将正数a、b扩充

为实数，此时不满足基本不等式的使用条件，无法直

接用基本不等式求解，并且a + 2b无法直接与条件 建立关系，所以考虑从待定系数法求解.基于变式6,引入新元素“入”和““”，且入>0可

半，当且仅当a = 2b,即a = 守,b =晋时等

得：号成立.点评：改变必 在原问题中的位置，以改变问题

变式7 已知实数a和6,且4a2 +ab+b2 = A ,则a +26最小值为-2旅，最大值为2伍.变式8 已知实数a和6,且4a2 + 2fiab + b2 =

的“关联结构”，将ab作为条件的组成部分.基于变式4,引入新元素“入”，且入>0可得：变式 5 已知 a > 0,6 >0,且 / + ab + 462 = 儿则讨习的最大值为今乙入，当“ e (0,1)时,a + fjub最小值为 一洱乎，最大值为行予通过对赛题的解法探究及多层次变式，巧妙地

3 变“元素状态”把赛题蕴含的数学思想、方法充分挖掘.在此过程

将元素a和6范围扩大为实数，可得：变式6 已知实数a和6,且4/ + ab + / = 1,

中，充分体现了数学知识的融会贯通，对数学学科核 心素养的培养具有积极意义.则a +26最小值为- 2,最大值为2.证明：由 4/ + ab + 子二 1,得 1 -(a+26)2 _

参考文献［1］ 蒋红珠，刘成龙.对一个向量最值问题的研究性学习

3a2 - 3ab - 3b2.假设存在实数 m,使3/ - 3ab - 3b2

三 m(a +26)2,即(3 - m) a2 + ( - 3 一 Am) b2 三(3

［J］.福建中学数学,2018(2)=14-18.+ 4 Tn) ab ①.当 mW- 弓-时，又(3 - m) a2 + ( - 3 一 4m) b2 M 2 /(3 - m) ( - 3 - 4m) ab②,比较①②

得 2 /(3 _ ni) (- 3 _ 4nz) = 3 + 4m,解得 m 二-

［2］ 江志杰.基于数学解题变式的高三教学主张［J］.中学数

学教学,2013(1):54 -58.［3］ 蓝贤光.利用待定系数法巧解一类二元最值问题［J］.中 学数学研究(广州),2019(2) ：37 -38.用线性规划方法巧解一道竞赛题贵州省毕节市梁才学校(551700) 张玉彬文［1］根据文［2］方程思想探究指出：寻求/ =

等式)取得最值的点一定是区域的顶点，非线性规

G&,y)限制在F&,y)工0上的最值问题，总是将

自变量(%,y)约束在条件F仏,y) NO(区域)的边 界F{x,y) =0(曲线)上，从而寻求/ = G{x,

划(目标函数和约束条件不全是二元一次方程、不 等式)，取得最值的点一定是区域的顶点或目标函

数图像与区域的边界相切的切点，本文根据这结论 解自然解答一道奥林匹克竞赛题.y)(F仏,y) NO)的最值与寻求问题/ = G(x, y)(F(x,y) =0)的最值完全类似，就可把约束条件

是不等式(组)转化为约束条件是方程来解决，线性 规划(目标函数和约束条件全是二元一次方程、不

题目(2019年西班牙数学奥林匹克第5题) 对所有满足0 W % W y W 1,的实数对(x,y)且，设

M(x,y) = max\\xy,xy - x - y + 1 ,x + y - 2xy},求・48・中学数学研究2019年第10期M(x,y)可能取到的最小值.题目参考解法很难想，且比较繁,下面用线性规

=秽图象与区域相切的切点,M(y,l) = y,划与非线性规划给出另一自然解答.解：由题意得可分三种情形仃OWxWyWl

、2 2 4M(专，y)=于,M(l,l) =

(^,y)m；n =M(%,y) = xyHxy xy - X - y + 1 ,即 M(x,y)=

2 2 4M(丁 2)= T②的区域如图2,区域的顶点分别是(0,0),

I ^xy x + y - 2xy )(fOw^WyWl、矽” + y孑1①，或 Af(x,y) = xy - x - y +I ^3xy x + y*，+), (0,()*,其中( +，*)是目标函数M(%,

y) = xy - x - y + 1图象与区域相切的切点，M(o,

y) = y,^(y,y) = *,M(0,0) = 1,,即 M(x ,y)二 xy1 <%y^xy-x-y + l\\ Oy - % - y + 1 x + y - 2xy >仃OW^WyWl 、••• M(A：,y)min = —1 1 4③的区域如图3,区域的顶点分别是(()，*),

-%-y + l \\x + y②，或 M(x,y) = %I+ 1 M 2% + 2yy仃OW^WyWl、,M{x,y),1)*(，(*，*)，(寻，寻)，其中( +，+)，(寻，寻)

+ y _ lxy^x+y- 2xy仃、是目标函数M(光,y) = xy - x - y + 1图象与区域相

\\ ^xy - x - y + 1 x + y - 2xy)

=x + y - 2xy\\ J 3xy x + y ③，因此问题就I ^3xy + 1 W 2% + 2y>是,3个约束条件是二元不等式组下，求二元二次函 数(目标函数)的最小值问题，即解3个非线性规划

切的切点,M(0,y) = *，M(*，+)= *，M(寻,

y)=壬,M(0,0) = 仏,九” =M(y,y)

=M(寻,寻)=y-合并上述结果得M (力,ylmi” = ^(y,y)=皿(|■申 =y,EP有2对自变量(,*y),(y,y)使 M

问题，由于取得最值的点是约束条件二元不等式组 的区域的边界(顶点或切点)，所以，可类似于线性

规划求解，先作出各约束条件区域图= y-Xfo图1k从题目的解答可知，凡是求M仏,y)=

1Imax｛/O,y) ,g(力,y) ｝的最小值，或求F\\\\}0 ■图2图3M(%,y) = minj/(x,y) ,g(x,y) ,h(x,y) ｝的最大值

问题，都可化为线性规划问题或非线性规划问题自

然解答.参考文献[1] 张玉彬.求二元函数t = G(x,y)(F(x,y) =0)的值域的

①的区域如图1,区域的顶点分别是(*,1),(彳,奇)，(1,1),其中(|■，奇)是目标函数M(“)7 ? 9 7本质及其意义[J].中学数学研究(江西),2018,3-[2] 熊福州，张龙跃.数学问题的根基本质是方程的解集

[J].中学数学研究(江西),2015,&巧思妙证一组神奇的三角恒等式南昌大学附属中学(330047)朱利锋三角恒等式纷繁复杂、千姿百态、变化无穷.本

文旨在对一类三角恒等式的证明方法进行提炼，让