2019年甘肃省平凉市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1．（3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．（3分）下列整数中，与 最接近的整数是（ ） A．3
B．4
C．5
D．6
4．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（ ） A．7×10
﹣7
B．0.7×10
﹣8
C．7×10
﹣8
D．7×10
﹣9
5．（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）
A．平移变换
B．相似变换
C．旋转变换
D．对称变换
6．（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（ ）
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A．180° B．360° C．540° D．720°
7．（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（ ） A．x≤3
B．x≤﹣3
C．x≥3
D．x≥﹣3
8．（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
9．（3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的 倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．22.5°
B．30°
C．45°
D．60°
10．（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
11．（4分）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点 ．
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12．（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：
实验者 掷币次数 出现“正面朝上”的次数 频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 德•摩根 6140 3109 蒲丰 4040 2048 费勒 10000 4979 皮尔逊 36000 18031 罗曼诺夫斯基 80640 39699 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为 （精确到0.1）． 13．（4分）因式分解：xy﹣4x＝ ．
14．（4分）关于x的一元二次方程x x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为 ． 15．（4分）将二次函数y＝x﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）+k的形式为 ．
16．（4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于 ．
2
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2
17．（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ ．
18．（4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是 ．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
19．（6分）计算：（﹣2）﹣| 2|﹣2cos45°+（3﹣π）
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2
0
20．（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？
21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC．
（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝ ．
22．（8分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据： 取1.73）．
23．（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩
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路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．
（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
24．（8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下： 收集数据：
七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．
八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41． 整理数据：
七年级 八年级 分析数据：
七年级 八年级 应用数据：
（1）由上表填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ． （2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？ （3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由． 25．（10分）如图，已知反比例函数y （k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第
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40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 0 1 1 0 0 0 a 7 7 b 1 2 平均数 78 78 众数 75 d 中位数 c 80.5
一象限交于A（1，3），B（3，1）两点 （1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y 上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）若CE＝2 ，求⊙D的半径．
27．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．
点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．
问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．
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28．（12分）如图，抛物线y＝ax+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m． （1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
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2019年甘肃省平凉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1．（3分）下列四个几何体中，是三棱柱的为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意； B、该几何体为圆锥，不符合题意； C、该几何体为三棱柱，符合题意； D、该几何体为圆柱，不符合题意． 故选：C．
2．（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（
A．0
B．1
C．2
D．3
【解答】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1， ∴点B表示的数是：3． 故选：D．
3．（3分）下列整数中，与 最接近的整数是（ ） A．3
B．4
C．5 D．6
【解答】解：∵32
＝9，42
＝16， ∴3＜ ＜4，
10与9的距离小于16与10的距离， ∴与 最接近的是3． 故选：A．
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）
4．（3分）华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（ ） A．7×10
﹣7
B．0.7×10
﹣9
﹣8
C．7×10
﹣8
D．7×10
﹣9
【解答】解：0.000000007＝7×10； 故选：D．
5．（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）
A．平移变换
B．相似变换
C．旋转变换
D．对称变换
【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换． 故选：B．
6．（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（ ）
A．180°
B．360°
C．540°
D．720°
【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°， 故选：C．
7．（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（ ） A．x≤3
B．x≤﹣3
C．x≥3
D．x≥﹣3
【解答】解：去括号，得2x+9≥3x+6， 移项，合并得﹣x≥﹣3 系数化为1，得x≤3； 故选：A．
8．（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
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A．① 【解答】解：
B．②
C．③ D．④
． 故从第②步开始出现错误． 故选：B．
9．（3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的 倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．22.5°
B．30°
C．45°
D．60°
【解答】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图， ∵弦AB的长度等于圆半径的 倍， 即AB OA， ∴OA+OB＝AB，
∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°， ∴∠ASB ∠AOB＝45°． 故选：C．
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10．（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，
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y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．
∴AB•BC＝3，即AB•BC＝12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7， ∴AB+BC＝7．
则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3， 因为AB＜AD，即AB＜BC， 所以AB＝3，BC＝4． 故选：B．
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
11．（4分）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点 （﹣1，1） ．
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【解答】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（﹣1，1）．
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故答案为：（﹣1，1）．
12．（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：
实验者 掷币次数 出现“正面朝上”的次数 频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 德•摩根 6140 3109 蒲丰 4040 2048 费勒 10000 4979 皮尔逊 36000 18031 罗曼诺夫斯基 80640 39699 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为 0.5 （精确到0.1）． 【解答】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动， 所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5． 故答案为0.5．
13．（4分）因式分解：xy﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2） ． 【解答】解：xy﹣4x， ＝x（y﹣4）， ＝x（y+2）（y﹣2）．
14．（4分）关于x的一元二次方程x x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为 4 ． 【解答】解：
由题意，△＝b﹣4ac＝（ ）﹣4＝0 得m＝4 故答案为4
15．（4分）将二次函数y＝x﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）+k的形式为 y＝（x﹣2）+1 ． 【解答】解：y＝x﹣4x+5＝x﹣4x+4+1＝（x﹣2）+1， 所以，y＝（x﹣2）+1．
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故答案为：y＝（x﹣2）+1．
16．（4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于 4﹣π ．
【解答】解：如图：
新的正方形的边长为1+1＝2， ∴恒星的面积＝2×2﹣π＝4﹣π． 故答案为4﹣π．
17．（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ 【解答】解：
①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：∴特征值k
或 ．
50°
②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20° ∴特征值k 综上所述，特征值k为或
故答案为或
18．（4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是 13a+21b ．
【解答】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b， 故答案为：13a+21b．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或
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演算步骤
19．（6分）计算：（﹣2）﹣| 2|﹣2cos45°+（3﹣π） 【解答】解：（﹣2）﹣| 2|﹣2cos45°+（3﹣π）， ＝4﹣（2 ）﹣2 1， ＝4﹣2 1， ＝3．
20．（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？
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【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得： ， 解得： ，
答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元． 21．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC．
（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝ 25π ．
【解答】解：（1）如图⊙O即为所求．
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（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E． 由题意OE＝4，BE＝EC＝3， 在Rt△OBE中，OB 5， ∴S圆O＝π•5＝25π． 故答案为25π．
22．（8分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据： 取1.73）．
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【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．
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∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°， ∴四边形CEHF是矩形， ∴CE＝FH，
在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°， ∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm）， ∴FH＝CE＝34.6（cm） ∵DH＝49.6cm，
∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm）， 在Rt△CDF中，sin∠DCF ， ∴∠DCF＝30°， ∴此时台灯光线为最佳．
23．（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．
（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率． 【解答】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同， ∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是；
（2）画树状图分析如下：
共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种， ∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为
．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
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24．（8分）为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下： 收集数据：
七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．
八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41． 整理数据：
七年级 八年级 分析数据：
七年级 八年级 应用数据：
（1）由上表填空：a＝ 11 ，b＝ 10 ，c＝ 78 ，d＝ 81 ．
（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？ （3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意知a＝11，b＝10，
将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94， ∴其中位数c
78， 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 0 1 1 0 0 0 a 7 7 b 1 2 平均数 78 78 众数 75 d 中位数 c 80.5 八年级成绩的众数d＝81， 故答案为：11，10，78，81；
（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200 90
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（人）；
（3）八年级的总体水平较好，
∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数， ∴八年级得分高的人数相对较多，
∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）． 25．（10分）如图，已知反比例函数y （k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点 （1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y 上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数y （k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点， ∴3 ，3＝﹣1+b， ∴k＝3，b＝4，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y ，y＝﹣x+4； （2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．
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26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）若CE＝2 ，求⊙D的半径．
【解答】（1）证明：连接AD， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°， ∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴AC是⊙D的切线； （2）解：连接AE， ∵AD＝DE，∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AE＝DE，∠AED＝60°， ∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°， ∴∠EAC＝∠C， ∴AE＝CE＝2 ，
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∴⊙D的半径AD＝2 ．
27．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．
点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．
问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．
【解答】解：延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示： 则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1， ∴△EB1C1是等腰直角三角形， ∴∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，
∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点， ∴∠M1C1N1＝90°+45°＝135°， ∴∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，
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∴E、C1、N1，三点共线，
在△A1B1M1和△EB1M1中，
∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS）， ∴A1M1＝EM1，∠1＝∠2， ∵A1M1＝M1N1， ∴EM1＝M1N1， ∴∠3＝∠4，
∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°， ∴∠1＝∠2＝∠5， ∵∠1+∠6＝90°， ∴∠5+∠6＝90°，
∴∠A1M1N1＝180°﹣90°＝90°．
，
28．（12分）如图，抛物线y＝ax+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m． （1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
2
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【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x﹣x﹣12）＝ax﹣ax﹣12a，
即：﹣12a＝4，解得：a ， 则抛物线的表达式为y x x+4； （2）存在，理由：
点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4）， 则AC＝5，AB＝7，BC＝4 ，∠OAB＝∠OBA＝45°，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①， 同理可得直线AC的表达式为：y x+4，
设直线AC的中点为K（ ，2），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为 ， 同理可得过点K与直线AC垂直直线的表达式为：y x ②， ①当AC＝AQ时，如图1，
2 2
2
则AC＝AQ＝5，
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设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，
由勾股定理得：（7﹣n）+n＝25，解得：n＝3或4（舍去4）， 故点Q（1，3）；
②当AC＝CQ时，如图1，
CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4 5， 则QM＝MB 故点Q（
，
2
2
，）；
③当CQ＝AQ时， 联立①②并解得：x
（舍去）；
故点Q的坐标为：Q（1，3）或（
2
，
）；
（3）设点P（m， m m+4），则点Q（m，﹣m+4）， ∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，
PN＝PQsin∠PQN （ m m+4+m﹣4） （m﹣2） ， ∵
2 2
＜0，∴PN有最大值，
．
当m＝2时，PN的最大值为：
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