(新课程)高中数学 3.2.2《对数函数》学案2 新人教B版必修1

指数函数与对数函数对照表

前面我们刚学了指数函数，现在我们又学了对数函数，而且同底的指数函数和对数函数互为反函数，你能分清它们之间的区别与联系吗？下表可帮助同学们理顺它们之间的关系，以形成对它们的整体认识．

指数函数和对数函数对照表 名称 一般形式 定义域 值域 指数函数 对数函数 yax(a0，a1) R （0，＋∞） ylogax(a0，a1) （0，＋∞） R 函数值变化情况 ax1，x0，x当a1时，a1，x0， 0ax1，x0当0a1时，logax0，x1，， 当a1时，logax0，x1logx0，0x1；a当0a1时，0ax1，x0xa1，x0， ax1，x0当a1时，yax是增函数； logax0，x1，logax0，x1， logx0，0x1.a当a1时，yloga当0a1时，yloga单调性 x是增函数；x是减函数． 当0a1时，yax是减函数． yax（a＞0且a≠1）的图象与ylogax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称． 当a＞1时， 当0＜a＜1时， 图象 补充性质 当a＞1时，图象向上越靠近y轴，底数越大； 当0＜a＜1时，图象向上越靠近y轴，底数越小． 当a＞1时，图象向右越靠近x轴，底数越大； 当0＜a＜1时，图象向右越靠近x轴，底数越小． 理解并熟记表格最后一项中的补充性质，对我们认识函数的性质，运用数形结合的思想解题都有很大好处．

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对数函数创新题两例

函数中的创新题，一般会给出新定义、新运算等，这就要求我们读懂题目，并把新概念、新定义、新运算与所学知识相结合，在较高层次上分析问题、解决问题． 例1 定义：函数y得

f(x)，x∈D，若存在常数C，对于任意x1∈D，存在惟一的x2∈D，使

f(x1)f(x2)C，则称函数f(x)在D上的“均值”为C，已知f(x)=lgx，x∈［10，

2100］，则函数（A）

f(x)=lgx在［10，100］上的均值为（ ）．

3 4（C）

3 2（B）

1 10 （D）10

解析：由题意，当10≤x1≤100时，x2也要在［10，100］内，且是常数. 令x2lgx1lgx2C，即x1x2

211m1，又≤≤，

100x110x1m≥10，100∴，∴m=1000，

m≤100101000f(x1)fx1lg10003.

∴C222点评：本题是新定义题，其关键是在［10，100］上x2被x1惟一确定，且故可令x2f(x)lg(xx)1)f(x212为常数，再由Cm，然后依据x2∈［10，100］，求出m＝1000，x1f(x1)f(x2)求出Ｃ.

2log(n1)(n2)，n∈Ｎ*，定义使a1·a2·a3·„·ak为整数的k（k∈Ｎ*）log(n1)(n2)，

例2 给定an叫做“企盼数”，求区间（1，62）内的所有企盼数的和. 解：∵an∴a1·a2·a3·„·ak＝log23×log34×log45×„× log（k+1）（k+2）=

lg3lg4lg5lg(k2)lg(k2)log2(k2). lg2lg3lg4lg(k1)lg2设log2(k2)为整数m，即log2(k2)m(mZ).

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∴k22，即k2mm2，

mm

又∵k∈（1，62），即1＜2－2＜62，∴3＜2＜64， ∴m=2，3，4，5，代入k2m2得到k=2，6，14，30.

∴区间（1，62）内所有“企盼数”之和为2＋6＋14＋30＝52.

“同正异负” 你注意到了吗

结合对数函数的图象，我们可以归纳出下面的重要性质． 性质：在对数函数y=logax（a＞0且a≠1）中，

（1）若0＜a＜1且0＜x＜1，或a＞1且x＞1，则有y＞0； （2）若0＜a＜1且x＞1，或a＞1且0＜x＜1，则有y＜0． 以上性质可以简称为：同区间为正，异区间为负． 在对数函数的学习中，以上性质往往容易被忽视，但它恰恰就是解决一些对数函数问题的关键所在．下面结合几个实例加以分析．

例1 如果loga3＞logb3＞0，那么a，b间的关系是（ ）． （A）0＜a＜b＜1 （B）1＜a＜b （C）0＜b＜a＜1 （D）1＜b＜a

解析：由于loga3＞logb3＞0，3＞1，结合“同区间为正”可得：a＞1，b＞1， 又由loga3＞logb3＞0得

110， log3alog3b即log3b＞log3a，所以b＞a， 所以b＞a＞1，故选（B）．

例2 若定义在区间（－１，０）内的函数f（x）=log2a（x+1）满足f（x）＞0，则a的取值范围是（ ）．

（A）0， （B）0，

1212（C）1， （D）（０，＋∞） 21，故选（A）． 2解析：∵-1＜x＜0，∴0＜x+1＜1，又f（x）＞0， 结合“同区间为正”可得：０＜2a＜1，解得0＜a＜

例3 已知

loga11loga，且｜logba｜=-logba，则有（ ）． 44（A）a＞1且b＞1 （B）0＜a＜1且b＞1

（C）a＞1且0＜b＜1 （D）0＜a＜1且0＜b＜1 解析：∵

loga111loga，∴loga＞0．

444同理可得logba＜0．结合同区间为正，异区间为负，得0＜a＜1，b＞1，故选（B）． 2xx例4 设0＜a＜1，函数f（x）=log（，则使f（x）＜0的x的取值范围是（ ）． aa-2a-2）

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（A）（-∞，0） （B）（０，＋∞）

（C）（－∞，loga3） （D）（loga3，＋∞）

解析：由于０＜a＜1，由“异区间为负”可得：a2x-2ax-2＞1，

则（ax-3）（ax+1）＞0，

所以ax＞3，即x＜loga3，故可排除（A）、（B）、（D），选（C）．

5 若log1a2例2a1a＜0，则a的取值范围是（ ）．

（A）12， （B）（１，+∞） （C）12，1 （D） 0，12 02a1，2a1，解析：由“异区间为负”可得：1a21a1，或1a2． 01a1解得12＜a＜1，故选（C）．

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