数形结合理解整式的乘法公式

数形结合理解整式的乘法

我们已经学习了整式的乘法和乘法公式，并且都知道了字母表示的法则，那么你能了解这些法则的几何意义吗？会验证这些法则吗？为了帮助同学们能熟练掌握，现逐一验证如下，供参考：

一、单项式乘以多项式

如图1，大长方形的面积从整体看为S=m（a+b+c），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成：S＝S1+S2+S3＝ma+mb+mc；于是有m（a+b+c）＝ma+mb+mc。从而验证了单项式与多项式相的法则。

二、多项式乘以多项式

如图2，大长方形的面积从整体可以表示成（a+b）（m+n），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成S＝S1+S2+S3+S4＝ma+mb+na+nb；于是有（a+b）（m+n）＝

ma+mb+na+nb.从而验证了多项式与多项式相乘的法则。

三、平方差公式

如图3，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形S4旋转到小长方形S3的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成S1+S2+ S3＝(a+b)(a－b)。从而验证了平方差公式(a+b)(a－b)＝a2－b2。

如图5：将边长为b的小正方形放到边长为a的正方形的一角，空白部分的面积从整体计算为a2－b2；而如果从局部考试，其面积可以看作为两个梯形S1+S2之和，其面积为

abababab(ab)(ab)22。从而也验证了平方差公式(a+b)(a－b)＝a2－b2。

四、完全平方公式

如图5，大正方形的面积从整体可以表示为(a+b)2，从局部可以表示为也可以表示为S＝S1+ S2+ S3+S4，同时S＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2，从而验证了完全平方公式(a+b)2＝a2+2ab+b2。

五、一般公式的推理

如图6，从整体看，这个图形的面积为（a+b）（a+2b），从局部我们可以看出，它分为6部分，这6部分的面积之和为a2+3ab+2b2，所以（a+b）（a+2b）= a2+3ab+2b2。

数形结合是一种重要的数学方法，亲爱的同学们，你能利用之种方法把算式(2a+b)(a+2b)的合理性解释清楚吗？