随机变量及其分布

1．（1）设随机变量X的分布律为 P{Xk}a（0是常数），试确定常数a。 （2）设随机变量X的分布律为 P{Xk}试确定常数a

2．一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为

0.10，0.20，0.30，假设各部件的状态相互独立，令X表示同时需要调整的部件数，试求X的分布律和至少有一个部件需要调整的概率。

3．一个罐子装有m个黑球和n个白球，无放回地抽取r个球(rmn)，问： （1）抽到白球数的分布律是什么？（2）有放回呢？

4．一电话交换台每分钟接到的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： （1）每分钟恰有8次呼唤的概率；（2）每分钟呼唤次数大于10的概率。

a, k1,2,,N Nkk!, k1,2,

C5．随机变量X的分布密度为 p(x)1x2011求：（1）常数C；（2）PX。

22x1其它

6．设随机变量X的分布密度为 p(x)cex,x 求：（1）常数C；（2）X落在区间（0,1）内的概率。

7．在电源电压不超过200V，在200V~240V之间和超过240V三种情形下，某电子

元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2。假设电源压X服从正态分布

N(220,252)，试求：

（1）该电子元件损坏的概率；

（2）该电子零件损坏时，电源电压在200~240V之间的概率

8．对某一目标进行射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为p， 求：（1）射击次数的分律；（2）射击次数的分布函数。

9．袋中有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3只球，令

X表示取出的球的最大号码，求X的分布律和分布函数。

10．设连续型随机变量X的分布函数为：

F(x)ABarctanx x

求：（1）常系数A及B；

（2）随机变量X落在（-1,1）内的概率； （3）随机变量X的分布密度。

11．接连不断地掷一枚均质的筛子，直到出现小于5点为止，记X为最后一次掷

出的点数，Y为掷筛子的次数，

求：（1）(X,Y)的联合分布律； （2）X,Y的边缘分布律。

12．设二维随机变量(X,Y)的分布密度为

ke(3x4y)p(x,y)0x0,y0

其它求：（1）常数K；（2）(X,Y)的联合分布函数；（3）关于X，关于Y的边缘

1

密度函数；（4）问X与Y是否独立？为什么？

（5）落入(X,Y)三角形区域D：x0，y0，3x4y3内的概率。

13．一口袋中有四个球，它们依次标有数字1,2,2,3，从这袋中任取一球后，不

放回袋中，再从袋中任取一球，设每次取球时每个球被抽取的可能性相同，以X,Y分别记第一次，第二次取得球上标有的数字，求（1）(X,Y)的联合分布律；（2）关于X和Y关于的边缘分布律。

14．设随机变量(X,Y)服从区域B上的均匀分布，其中B为x轴，y轴及直线

y2x1围成的三角形区域，试求：

（1）(X,Y)的联合密度函数； （2）求关于X，关于Y的边缘密度； （3）求p(xy)。

15．设随机变量(X,Y)在区域D: x2y2R2 内服从均匀分布：

（1）求(X,Y)的联合密度函数和边缘密度函数； （2）问X和Y是否相互独立； （3）求P(YX)。

16．设(X,Y)的联合分布密度为：

p(x,y)C 22(1x)(1y)求：（1）系数C；（2）(X,Y)落在以(0,0)；(0,1)；(1,0)；（1,1）为顶点的正方形内的概率；（3）问X与Y是否独立？

17．由统计物理学知道分子运动的速度X服从破克里威尔分布，其分布密度为

2

4x2x22e,x0p(x)3

0,x0mX2其中参数0，求分子运动的动能Y的分布密度。

2

18．已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数：（1）求证YF(X)服从[0,1]上的均匀分布；（2）求Z2lnF(X)的密度函数。

19．设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且同分布

P(Xi0)0.6; P(Xi1)0.4; (i1,2,3,4) （1）求行列式XX1X3X2X4X1X4X2X3的概率分布；

（2）求Mmax(X1,X2,X3,X4)的概率分布； （3）求mmin(X1,X2,X3,X4)的概率分布。

0,XY20．设与独立，分布密度为pX(x)pY(x)axae试求ZXY的分布密度。

21．填空题

x0

x0,a02x,0x1（1）设随机变量X的密度函数为p(x)令Y表示对X的10次独

其它0,1立重复观察中事件X出现的次数，则P{Y5} 。

2（2）一批产品共有100件，其中含有95件正品，5件次品，依次从这批产品中

抽取10件产品检验，每次抽一件，抽后不放回，令X表示10件产品中的

3

次品数，则X的分布律为 。

（3）设随机变量X~N(2,2)，已知P(2X4)0.3，则P(X0) 。 （4）设随机变量X与Y同分布，X的密度函数为

32x,0x2p(x)8

其它0,设A{Xa}与B{Ya}相互独立，且P(AB)（5）设X和Y是两个随机变量，且P(X0,Y0)4，则P(max(X,Y)0) 。 73，则a 。 43, P(X0)P(Y0) 71（6）设随机变量X的分布律为 P（X=－1）＝P（X＝1）＝，

83P（X=2）＝P（X＝3）＝，令Y＝lnX2 , 则Y的分布律为

8

（7）设随机变量X与Y相互独立且具有相同的分布，其分布律为：

X P

则随机变量 Z=|X-Y| 的分布律为

22．选择题

（1）设随机变量X与Y独立同分布，P{X1}P{Y1}P(Y1)1则下列各式成立的是（ ） 21,P(X1) 21 1/4 2 3/4 4

（A）P(XY)1 （B）P(XY)1 211 （D）P(XY1) 44（C）P(XY0)（2）设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为

(X,Y) （1,1） （1,2） （1,3） （2,1） （2,2） （2,3） P 1 61 91 181 3 

若X与Y独立，则,的值为（ ）

（A）（C）2112, （B）, 99991151, （D）, 661818（3）设随机变量X与Y独立，且P(X1)P(Y1)p0, P(X0)P

1,(Y0)1p0， 令 Z0,XY为偶数XY为奇数

要使X与Z独立，则p的值为（ ）

1112（A） （B） （C） （D）

3423（4）设随机变量X与Y独立，且分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)，则

（A）P(XY0)（C）P(XY0)

23．设A，B为两个随机事件，P(A)= P(A|B)= 令随机变量

5

11 （B）P(XY1) 2211 （D）P(XY1) 2211, P(B|A)= , 421,A发生1,B发生 X= Y=

0,A不发生0,B不发生 (1). 求 (X,Y)的联合分布律. (2). X, Y是否相互独立，为什么？ (3). 求概率P{X2 +Y2=1}

24．设X,Y相互独立，分布密度分别为

1pX(x)0求 Z0x1其他ey , pY(Y)0y0 其他X 分布密度 Y第四章 大数定律与中心极限定理

1．设{Xk:k1}是独立的随机变量序列，P{Xklnk}P{Xklnk}问对{Xk}是否成立大数定律？为什么？

2．设{Xn}为独立随机变量序列，

P{Xn2n}2 P{Xn0}12n111,n1,2, 2n21试2证明：{Xn}服从大数定律。

3．设{Xn}为独立同分布随机变量序列，其共同分布为（0,1）上的均匀分布，令

YnXk

k1P证明：YnC，其中C为常数，并求出C。

n1n

6

4．在一家保险合同里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费。在一年

中一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向公司领得1000元，问： （1）保险公司亏本的概率多大？

（2）保险公司一年的利润不少于40000元的概率是多少？

5．试问对下列独立随机变量序列，李雅普洛夫定理是否成立？为什么？

（1）P{XkKP{XkK}1, k1,2, 21（2）P{XkKa}P{XkKa}P{Xk0}, a0, k1,2,

3

2k6．设{Xn:n1}是独立同分布的随机变量序列，EXn2k,k1,2,,m，

k试证明对随机变量序列{Xn,n1}成立大数定律及中心极限定理。

7．一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3°的概率

p1，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500~30500次纵摇角大3于3°的概率是多少？

8．对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是个随机变量，设一个学生无家长，1名家长，2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。 求: （1）参加会议的家长数X超过450的概率。

（2）有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。

7

第六章 参数估计

1．填空题

（1）设总体X~B(N,p)，p未知，(X1,X2,,Xn)是来自总体X的样本，则参

数p的矩估计量是 ；最大似然估计量是 。 （2）设(X1,X2,,Xn)是来自均匀分布U(,1)(0)总体的一个样本，则的

矩估计量是 ；的最大似然估计量是 。

2．设总体X的概率密度为

x10x1 p(x,)其它0,其中为未知参数，(X1,,Xn)是从总体X中抽取的一个样本，求的矩估计和最大似然估计。

1X3．设总体的分布密度为 p(x;)e, x

2x(X1,X2,,Xn)是来自总体X的样本，试求的矩估计和最大似然估计。

4．设总体X的分布密度为

p(x)1ex122, 1x,20

(X1,X2,,Xn)为来自总体X的样本，试求1和2的矩估计。

5．设总体服从对数正态分布，其分布密度为

(lnxu)2p(x)exp, x0,0 222x1

8

(X1,X2,,Xn)是来自总体X的一个样本，试求参数和2的最大似然估计。

e(x),x6．设总体X的分布密度为 p(x)

x0,(X1,X2,,Xn)是来自总体X的一个样本，试求参数的最大似然估计。 7．填空题

（1）设总体X~N(,2)，(X1,X2,,Xn)是它的一个样本，则当常数C

时，C(Xi1Xi)2为2的无偏估计。

i1n1（2）设总体X~P()，(X1,X2,,Xn)是它的一个样本，则2的一个无偏估计

量为 。

ˆ都是参数的两个独立的无偏估计量，ˆ2Dˆ，8．设ˆ1和且D试求常数和212ˆˆ是的无偏估计，ˆˆ的无偏估计中方差最小。，使且在形如 1212

9．设总体X~N(1,2)，(X1,X2,,Xn)是它的一个样本，试求2的最大似然估

ˆ2，ˆ2是否为2的无偏估计？ 计

10．设总体X的分布密度为

6x(x),0xp(x)3

0,其它(X1,X2,,Xn)是它的一个样本，试求参数的矩估计量ˆ，ˆ是否是的相合估计？

9

11．设总体X服从正态分布N（,2），（X1,…, Xn ,…X2n）为来自X的一个样本,

1nXXi

ni1（1）求常数C使统计量C|Xi| 为的无偏估计，

in2n（2）当0,1 时，求(X)2与|X|的协方差。

12. 设总体X的概率分布为

X 0 1 2 3 P 2 2(1) 2 12 1其中(0)是未知参数，利用X的如下样本值：

23，1，3，0，3，1，2，3． 求的矩估计值和最大似然估计值。

13．设总体X服从均匀分布U (2,2), >0, (X1,X2,,Xn) 是来自X的样本。 (1) 证明θ的一个最大似然估计量为

ˆ[max(X,X,,X)min(X,X,,X)] L12n12n12ˆ是否是θ的无偏估计，是否为的相合估计。 (2) 判断L

14．从大批彩色显像管中随机取100只，其平均寿命为10000小时，可以认为显

像管的寿命服从正态分布，已知均方差=40小时，以置信度95%求出整批显像管平均寿命的置信区间。

15．一批钢件的20件样品屈服点（吨/厘米2）为：

4.98；5.11；5.20；5.20；5.11；5.00；5.61；4.88；5.27；5.38 5.46；5.27；5.23；4.96；5.35；5.15；5.35；4.77；5.38；5.54

10

设屈服点服从正态分布。求：

（1）屈服点总体均值的置信度为0.95的置信区间； （2）屈服点总体标准差的置信度为0.95的置信区间。

16．设(X1,X2,,Xn)为总体X~N(,2)的样本，其中和2为未知参数，设

随机变量L是关于的置信度为1的置信区间的长度，求E(L2)。

17．两种机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床生产的滚珠中抽取8个，从乙机

床生产的滚珠中抽取9个，测得这些滚珠的直径（单位：mm）如下： 甲机床：15.0，14.8，15.2，15.4，14.9，15.1，15.2，14.8 乙机床：15.2，15.0，14.8，15.1，14.6，14.8，15.1，14.5，15.0 设两台机床生产的滚珠直径均服从正态分布。

2（1）若122时，求12的置信度为95%的置信区间。 2（2）求方差比12/2的置信度为95%的置信区间。

18．设0.50，1.25，0.80，2.00是来自总体X的样本，已知YlnX服从正态分

布N(,1).

（1） 求X的数学期望EX（记EX为b）， （2） 求的置信度为0.95的置信区间，

（3） 利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间。

11