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几何学

2022-05-11 来源:伴沃教育
《几何学》辅导纲要

第一章 公理化方法与非欧几何

主要内容:

1.几何学公理化方法的构造和原理及其作用、意义 2.希尔伯特公理体系的结构

3.公理系统的相容性、独立性和完备性 4.罗氏几何和黎曼几何的数学模型 重点掌握:

1.公理法的三个基本问题是相容性问题、独立性问题、完备性问题。

2.公理法的结构是原始概念的列举;定义的叙述;公理的叙述;定理的叙述和证明. 3.三角形内角和等于180度与欧氏平行公理等价。 4.欧氏几何与非欧几何的本质区别为平行公设不同。

5.公理系统的完备性: 如果公理系统的所有模型都是同构的,则称这个公理系统是完备的,或称其具有完备性。

6.几何公理: 公理是作为几何基础而本身不加证明的命题,是建立一种理论体系的少数思想规定。在几何演绎体系里,每条定理都要根据已知定理加以证明,而这些作为依据的定理又要根据另外的已知定理加以证明,如此步步追寻起来,过程是无止境的,必须适时而止。因此,需要选取一些不加证明的原始命题作为证明一切定理的基础,这就是公理。

7.公理系统的相容性: 一个公理系统及其一切推论不含有矛盾命题时,称这个公理系统是相容的或无矛盾的。

8.欧几里得的第五公设:

在一平面上如果直线l与另外两条直线a,b相交,有一侧的两个同侧内角,的和小于两直角,则直线a与b在同侧内角的和小于两直角的那一侧相交。

bla

9.公理法的基本思想:若干个原始概念(包括元素和关系)、定义和公理一起叫做一个公理体系,构成了一种几何的基础。全部元素的集合构成了这种几何的空间。在这个公理体系的基础上,每个概念都必须给出定义,每个命题都必须给出证明,原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统——逻辑结构,这就是公理法思想。

10.公理系统的独立性:如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明,即不时其余公理的推论,则称这条公理在公理系统中是独立的。如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的,则称这个公理系统是独立的。

第二章 射影变换群与几何学

主要内容: 1.点变换的概念

2.正交变换的不变性质与不变量 3.相似变换的不变性质与不变量 4.仿射变换的不变性质与不变量 5.射影变换的不变性质与不变量 6.非齐次坐标

7.利用不变量对二次曲线进行分类

8.利用不变量将二次曲线的一般方程化简为标准型 重点掌握:

1.仿射变换把平行线变成平行线,把正三角形变成三角形,把矩形变成平行四边形。

2.设共线三点A0,2,B(2,0),C(1,1),则(ACB)2。 4.共点的直线经仿射变换后变成共点的直线。 5.不共线的点经仿射变换后变成不共线的点。 6.在仿射对应下,单比不变。

7.设点A,B,C共线,且在仿射变换下分别变成A',B',C',则A',B',C'三点共线。

8.正方形在仿射变换下变成平行四边形。

9.对正方形,对边平行、对角线互相平分是仿射性质。

10.线段的中点、交比、点偶的调和共轭性、两平行线段的比和对称中心都属于仿射性质。

11.求一个仿射变换,它把抛物线y22x变成自身,把原点(0,0)变成点(2,2)。 设所求的仿射变换为x'a11xa12ya1y'a

21xa22ya2由它把(0,0)变成(2,2)可知a1a22 因为它把抛物线y22x变成自身,所以

y2x'a11a12y22 2y'ay212a22y2应满足 y'22x',

于是 (ay2y22212a22y2)2(a112a12y2)

即 4a2y214aa(a22122y3222a21)y24a222y4a11y2a12y4 比较方程两边的系数得

a2210, a11a22, a122a22

令a22,则a112, a122,因此所求的仿射变换为

x'2x2y2y'y2 它依赖于参数。

12.求出将点(2,3)变成点(0,1)的

平移变换,在这个平移变换下,y2x8y180变成什么曲线?

设所求的平移变换为

x'xay'yb 将已知对应点的坐标代入上式得

抛物线02a 13b于是 a2, b4 所以所求的平移变换为 x'x2xx'2 即 

y'y4yy'4将此变换用于所给的抛物线上

(y'4)2(x'2)8(y'4)180

即y'2x'0

13.求出将点(3,1)变成点(1,3)的绕原点的旋转变换,再将所得的变换用于抛物线

y2x8y180上。

设所求的旋转变换为

x'xcosysiny'xsinycos

则 于是所求的旋转变换为2

x'yxy' 即 y'xyx'将此变换用于所给的抛物线得

x'28x'y'180。

14.求仿射变换x'7xy1的二重直线。

y'4x2y4 设所求的不变直线为

AxByC0 (A,B不同时为

0)

即在所给的变换下,AxByC0对应Ax'By'C0 因为

Ax'By'CA(7xy1)B(4x2y4)C (7A4B)x(A2B)y(A4BC)

7A4BA (1)所以 A2BB (2)

A4BCC (3)消去A,B,C得

71140200 41展开化简得

(1)(7)(2)4(1)0

解得1,3,6

由于当1时,AB0,因此不对应不变直线,分别将3,6代入(1),(2),(3)得

AB, C3B 和 A4B, C0 2所以不变直线为2x2y30 和 4xy0 15.若存在,求下列各点的非齐次坐标

(1) (0,5,6), (2) (1,8,0)

(1).存在,设(x1,x2,x3)(0,5,6),则这个点的非齐次坐标为

(x,y)(x1x25,)(0,)。 x3x36(2).不存在,因为无穷远点没有非齐次坐标。

16.证明:使向量内积保持不变的仿射变换是正交变换。

设在使二向量内积不变的仿射变换下,点A变成点A,点B变成点B,则

d(A,B)ABABABABABABd2(A,B)

222所以d(A,B)d(A,B)(d表示两点间的距离)。由于这个变换保持两点间的距离不变,因此它是正交变换。

17.线坐标1,1,1所表示的直线方程 为x1x2x30或xy10。

18.在仿射变换下,

菱形的对边平行、对角线互相平分和对边相等的性质在仿射变换下保持不变;邻边相等、对角线互相垂直和对角线平分菱形对角的性质都改变了。

19.相交于影消线的二直线必射影成两平行线。

 设二直线l1和l2交于P点,P点在影消线上,l1和l2经射影对应,对应直线为l1和l2,

则P点对应无穷远点。

由于射影对应保持结合性不变,所以P的对应点是l1和l2的交点,即无穷远点,也就是l∥l12。

20.将二次曲线9x230xy25y212x20y40化简成标准型。

A9 B15 C25 D6 E10 F4

1)计算不变量

I1AC34, I2ABBCACB20 ABD9156I3BCE1525100 DEF61042)判别类型

I20说明曲线为抛物线型 I30说明曲线为退化的抛物线

故仍需求HFD2E2I4100360 134故曲线为两重合直线 标准方程为 y20

21.设ABC的内切圆与三边BC,CA,AB分别切于R,S,T,试证:证明:如图所示

A T OS B

R

CAR,BS,CT交于一点。 由已知可得 BTBR, CRCS, ATAS 于是对有向线段 AT,BT,BR,CR,CS,AS 有

ATBRCSBRATCS(1)(1)(1)1 BTCRASBTASCR由塞瓦定理,可得AR,BS,CT交于一点

22.设AD为ABC的一条中线,引任一直线CF交AD于E,交AB于F,证明:如图所示

CE

FA

AE2AF EDFBDB

在ADB中,E,C,F分别为三边AD,DB,BA上的点,(或其延长线上的点),由梅内劳斯定理有

AEDCBF1 DEBCAFDC1 BC2因为D为BC中点,所以 即 即

AE1BF1 DE2AFAE2AF DEBFAE2AF EDFB从而

23.设平面上的点变换1和2表示,求 (1)21;(2)21;

xx2y3xxy分别由1:和2:y2x5y1yx2x(x2y3)(2x5y1)xx3y4,即 21:21:y(x2y3)2yx2y5xy21若求21,只需从2中求出x,y即可,所以2:

yxy224..试确定仿射变换,使y轴、x轴的象分别为直线xy10和xy10,且点(1,1)的象为原点。 所求变换的公式为

x1x'1y'1y2x'2y'2 其中

1210 2则x0变成直线1x'1y'10

但由题设x0变成x'y'10可知,1x'1y'10与x'y'10表示同一直线。 所以

1111111 h因此 hxx'y'1 同理 kyx'y'1 此处h,k是参数。

又因为点(1,1)的象为原点,于是h1,k1,所以,所求变换的逆式为

xx'y'1 y(x'y'1)由此得出所求的仿射变换为

xyx'22 y'xy122

第三章 向量方法在几何中的应用

主要内容:

1.向量的概念及其运算对于学习过向量的学员来讲并不陌生,但是利用向量来解决初等几何问题,如:共点问题、共面问题、求线段的长度问题和直线间的夹角问题等等,是以往我们没涉及到的方法,他给我们提供了另一种解决初等几何问题的新思路。

2.向量的概念、向量的运算以及向量的线性相关和线性无关。

3.熟悉向量的运算,包括向量的加减法、向量数乘运算、向量的内积、外积,以及向量的线性相关和线性无关的定义及几何意义。

4. 熟悉如何用向量描述几何问题。

重点掌握:

1.设a与b是两个非零向量,若a与b线性相关,则ab0。

2.已知向量ax1,x2,x3,by1,y2,y3,则a与b之间的内积abx1y1x2y2x3y3。 3.空间中三个向量线性相关当且仅当它们共面,空间中的四个向量一定线性相关。 4.如果两个向量线性相关,则它们的位置关系是平行或重合,夹角为0或。 5.设a与b是两个非零向量,若ab0,则a与b垂直。 6. 平面上两个向量线性无关当且仅当它们不共线;

平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行; 平面上的三个向量一定线性相关。 7.若a与b是两个非零向量,则abab。

8.设a与b是两个非零向量,若ab0,则a与b平行。 9. 已知向量a1,2,3,b3,4,0,分别计算a与b的模长与夹角。

a,b的模长分别

a12223214b3405222

ab1324305,

夹角的余弦为

cosa,babab5145114

10. 试用向量法证明:半圆的圆周角是直角。

设O为半圆的圆心,AB为直径,C为半圆上任意一点,见图,

BCcAOa

要证明∠ACB2,取OAa,则OBa,设OCc,由于OA,OB,OC都是圆

的半径,所以ac,

由图有

BCca,ACca

BCAC(ca)(ca)ca0

所以

BC⊥AC,即∠ACB222。

11.试用向量法证明:等腰三角形的中线垂直于底边。

设△ABC为等腰三角形,记ABa,ACb,则BCba,并设中线ADm,见图

m111abab 222abAm上式两端同ba做内积,得 Bmba11212abbaba 222DC根据已知条件

ABAC,即ab,

所以

mba0,即ADBC。

12.试用向量法证明:平行四边形是菱形的充分必要条件是其对角线互相垂直。

设a,b表示平行四边形的两个邻边,见图,

则它的对角线分别为ab和ab,且

(ab)abab

ADCbMaB22ab当且仅当(ab)ab0 即ab当且仅当ab与ab垂直。

22

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