2015-2016学年四川省巴中市南江县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．的平方根是（ ） A．±4 B．4 C．±2 D．2 2．下列命题为假命题的是（ ） A．三角形三个内角的和等于180° B．三角形两边之和大于第三边
C．三角形两边的平方和等于第三边的平方
D．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半 3．下列计算错误的是（ ）
A．x+x2=x3 B．x•x2=x3 C．x5÷x2=x3 D．（x2）3=x6 4．在3.14，
，
，
，π这五个数中，无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（ ）
A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF
6．某农户一年的总收入为50000元，如图是这个农户收入的扇形统计图，则该农户的经济作物收入为（ ）
A．20000元 B．12500元 C．15500元 D．17500元
7．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ） A．5 B． C． D．5或
8．已知（﹣2x）•（5﹣3x+mx2﹣nx3）的结果中不含x3项，则m的值为（ ） A．1
B．﹣1 C．﹣ D．0
9．已知x2+5x+1=0，则x+的值为（ ） A．5
B．1
C．﹣5 D．﹣1
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10．如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°其中完全正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分） 11．计算：25的平方根是 ．
12．计算（2a3）3的结果是 ．
13．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于 ． 14．已知a、b分别是的整数部分和小数部分，那么2a﹣b的值为 ． 15．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= ．
16．若4x﹣3是多项式4x2+5x+a的一个因式，则a等于 ． 17．若m2﹣n2=6，且m﹣n=3，则m+n= ．
18．在一个长6米、宽3米、高2米的长方体房间里放进一根竹竿，则竹竿最长是 米．
19．某校500名学生参加生命安全知识测试，测试分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表所示（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），结合表1的信息，可测得测试分数在80～90分数段的学生有 名． 60﹣70 70﹣80 80﹣90 90﹣100 分数段 0.2 0.25 0.25 频率 20．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，
则∠A的度数是 ．
三、解答题（共9小题，满分90分） 21．计算：
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+（1+（1）（﹣）2﹣2
（2）（2x﹣7y）（3x+4y﹣1） （3）（1﹣
）（1﹣
）（1﹣
）2010（﹣1）2011+|1﹣
|+（
）0
）…（1﹣）
22．因式分解： （1）ab﹣ac+bc﹣b2 （2）a2﹣2ab+b2﹣c2．
23．如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．
24．求代数式（a+2b）（a﹣2b）+（a+2b）2﹣4ab的值，其中a=1，b=
．
25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状，并证明你的结论．
26．已知+…+
+（ab﹣2）2=0，求
的值．
27．某地为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用适量数据，并绘制了如下不完整统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解决下列问题：
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（1）此次调查抽取了多少用户的用水量数据？
（2）补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数；
（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地20万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
28．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
29．在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：已知a和b求N，这是乘方运算：已知b和N求a，这是开方运算，现在我们研究第三种情况：已知a和N求b，我们称这种运算为对数运算．
定义：如果23=8，所以log28=3：因为32=9，所以log39=2 根据以上信息回答下列问题：
（1）计算：log381= ，log33= ，log636= ，logx16=4，则x= ．
（2）设ax=M，ay=N（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0），猜想logaMN和loga的结果，并证明．
（3）计算：①log2（2×4×8×16×32×64）；②log3
；③log93+log927．
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2015-2016学年四川省巴中市南江县八年级（上）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．的平方根是（ ） A．±4 B．4 C．±2 D．2 【考点】平方根；算术平方根．
【分析】根据算术平方根的意义，可得16的算术平方根，再根据平方根的意义，可得答案．
=4，± =±2， 【解答】解：
故选：C．
2．下列命题为假命题的是（ ） A．三角形三个内角的和等于180° B．三角形两边之和大于第三边
C．三角形两边的平方和等于第三边的平方
D．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半 【考点】命题与定理．
【分析】根据三角形内角和定理对A进行判断；根据三角形三边的关系对B进行判断；根据勾股定理对C进行判断；根据三角形面积公式对D进行判断．
【解答】解：A、三角形三个内角的和等于180°，所以A选项为真命题； B、三角形两边之和大于第三边，所以B选项为真命题；
C、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，所以C选项为假命题；
D、三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半，所以D选项为真命题． 故选C．
3．下列计算错误的是（ ）
A．x+x2=x3 B．x•x2=x3 C．x5÷x2=x3 D．（x2）3=x6
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，同底数幂的除法底数不变指数相减，幂的乘方底数不变指数相乘，可得答案．
【解答】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误； B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B正确； C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误； D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D错误； 故选：B．
4．在3.14，A．1
B．2
，
，
，π这五个数中，无理数的个数是（ ） D．4
C．3
【考点】无理数．
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【分析】根据有理数和无理数的概念来确定即可求解． 【解答】解：3.14是有限小数，因此是有理数； 是分数，因此是有理数； ﹣∵
是开方开不尽的数，故是无理数； =4，∴它是一个有理数；
π是无限不循环小数，故是无理数． 所以一共有2个无理数． 故选B．
5．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（ ）
A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF 【考点】全等三角形的判定．
【分析】全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可． 【解答】解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、∵在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确； C、∵BC∥EF，
∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误． 故选B．
6．某农户一年的总收入为50000元，如图是这个农户收入的扇形统计图，则该农户的经济作物收入为（ ）
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A．20000元 B．12500元 C．15500元 D．17500元 【考点】扇形统计图．
【分析】因为某农户一年的总收入为50000元，利用扇形图可知该农户的经济作物收入占35%，所以该农户的经济作物收入的钱数为：总收入×经济作物收入所占的百分比，求出得数即为结果．
【解答】解：∵某农户一年的总收入为50000元，利用扇形图可知该农户的经济作物收入占35%，
∴50000×35%=17500（元）． 故选：D．
7．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ） A．5 B． C． D．5或 【考点】勾股定理．
【分析】本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析． 【解答】解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5， （2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为， 故选：D．
8．已知（﹣2x）•（5﹣3x+mx2﹣nx3）的结果中不含x3项，则m的值为（ ） A．1
B．﹣1 C．﹣ D．0
【考点】单项式乘多项式．
【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，根据整式不含x3项，可得三次项的系数为零． 【解答】解：（﹣2x）•（5﹣3x+mx2﹣nx3）=﹣10x+6x2﹣2mx3+2nx4， 由（﹣2x）•（5﹣3x+mx2﹣nx3）的结果中不含x3项，得 ﹣2m=0， 解得m=0， 故选：D．
9．已知x2+5x+1=0，则x+的值为（ ） A．5
C．﹣5 D．﹣1
【考点】一元二次方程的解．
【分析】首先利用移项的法则把已知式子5x移到等号的右边，得到x2+1的值，然后把要求的式子进行通分后，利用同分母分数相加的法则：分母不变，只把分子相加，化简后，利用整理代入的思想，把x2+1的值代入化简的式子中，约分后即可得到所求式子的值． 【解答】解：由x2+5x+1=0，得x2+1=﹣5x， 则x+=
=
=﹣5．
B．1
故选C．
10．如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，
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以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°其中完全正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．（根据等边三角形的性质可证∠DCB=60°，由三角形内角和外角定理可证∠DPC＞60°，所以DP≠DE）
【解答】解：①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上， ∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120° ∴△ACD≌△ECB
∴AD=BE，故本选项正确； ②∵△ACD≌△ECB ∴∠CBQ=∠CAP，
又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC， ∴△BCQ≌△ACP，
∴CQ=CP，又∠PCQ=60°， ∴△PCQ为等边三角形， ∴∠QPC=60°=∠ACB，
∴PQ∥AE，故本选项正确； ③∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°， ∴∠ACP=∠BCQ，
∵AC=BC，∠DAC=∠QBC， ∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，AP=BQ，故本选项正确； ④已知△ABC、△DCE为正三角形， 故∠DCE=∠BCA=60°⇒∠DCB=60°，
又因为∠DPC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60°⇒∠DPC＞60°， 故DP不等于DE，故本选项错误； ⑤∵△ABC、△DCE为正三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CAD=∠CBE，
∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB， ∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°， ∴∠AOB=60°， 故本选项正确．
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综上所述，正确的结论是①②③⑤． 故选D．
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分） 11．计算：25的平方根是 ±5 ． 【考点】平方根．
【分析】根据平方根的定义，结合（±5）2=25即可得出答案． 【解答】解：∵（±5）2=25 ∴25的平方根±5． 故答案为：±5．
12．计算（2a3）3的结果是 8a9 ． 【考点】幂的乘方与积的乘方． 【分析】根据积的乘方，即可解答．
【解答】解：（2a3）3=23•a9=8a9， 故答案为：8a9．
13．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于 70°或20° ．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况，当∠A为锐角时，∠B等于70°，当∠A为钝角时，∠B等于20°．
【解答】解：根据△ABC中∠A为锐角与钝角，分为两种情况： ①当∠A为锐角时，
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°， ∴∠A=40°， ∴∠B=
=
=70°；
②当∠A为钝角时，
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°， ∴∠1=40°，
∴∠BAC=140°， ∴∠B=∠C=
=20°．
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故答案为：70°或20°．
14．已知a、b分别是的整数部分和小数部分，那么2a﹣b的值为 ． 【考点】估算无理数的大小． 【分析】先估算的取值范围，进而可求6﹣的取值范围，从而可求a，进而求b，最后把a、b的值代入计算即可． 【解答】解：∵＜＜， ∴3＜＜4， ∴2＜6﹣＜3， ∴a=2， ∴b=6﹣﹣2=4﹣， ∴2a﹣b=2×2﹣（4﹣）=． 故答案是．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= 3 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】直接根据等腰三角形“三线合一”的性质进行解答即可． 【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D， ∴BD=BC=×6=3．
故答案为：3．
16．若4x﹣3是多项式4x2+5x+a的一个因式，则a等于 ﹣6 ． 【考点】因式分解的意义．
【分析】通过4x﹣3是多项式4x2+5x+a的一个因式，即方程4x2+5x+a的一个解是，代入方程求出a的值．
【解答】解：∵4x﹣3是多项式4x2+5x+a的一个因式， ∴令4x﹣3=0，则x=，
把x=代入方程4x2+5x+a=0中得+故答案是：﹣6．
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+a=0，解得：a=﹣6．
17．若m2﹣n2=6，且m﹣n=3，则m+n= 2 ． 【考点】平方差公式．
【分析】将m2﹣n2按平方差公式展开，再将m﹣n的值整体代入，即可求出m+n的值． 【解答】解：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=3（m+n）=6； 故m+n=2．
18．在一个长6米、宽3米、高2米的长方体房间里放进一根竹竿，则竹竿最长是 7 米． 【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据题意画出图形，首先利用勾股定理计算出BC的长，再利用勾股定理计算出AB的长即可．
【解答】解：∵侧面对角线BC2=32+22=13，
m， ∴CB=
∵AC=6m， ∴AB=
=7m，
∴竹竿最大长度为7m． 故答案为7．
19．某校500名学生参加生命安全知识测试，测试分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表所示（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），结合表1的信息，可测得测试分数在80～90分数段的学生有 150 名． 60﹣70 70﹣80 80﹣90 90﹣100 分数段 0.2 0.25 0.25 频率 【考点】频数（率）分布表． 【分析】首先求得80～90分数段的频率，然后用总人数乘以该组频率即可求得该分数段的人数．
【解答】解：80～90分数段的频率为：1﹣0.2﹣0.25﹣0.25=0.3， 故该分数段的人数为：500×0.3=150人． 故答案为：150．
20．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是 12° ．
【考点】等腰三角形的性质．
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【分析】设∠A=x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【解答】解：设∠A=x，
∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A， ∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x， ∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x， ∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x， …，
∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，
∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，
在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°， 即x+7x+7x=180°， 解得x=12°， 即∠A=12°． 故答案为：12°．
三、解答题（共9小题，满分90分） 21．计算：
+（1+）2010（（1）（﹣）2﹣2
（2）（2x﹣7y）（3x+4y﹣1） （3）（1﹣
）（1﹣
）（1﹣
）…（1﹣
﹣1）2011+|1﹣
|+（
）0
）
【考点】二次根式的混合运算；整式的混合运算；零指数幂． 【分析】（1）根据幂的乘方、平方差公式、积的乘方、零指数幂和二次根式的加减进行计算即可；
（2）根据多项式乘以多项式展开后再合并同类项即可； （3）根据平方差公式分解因式即可化简．
+（1+）2010（﹣1）2011+|1﹣|+（【解答】解：（1）（﹣）2﹣2）0 =3﹣==
=
+1
；
（2）（2x﹣7y）（3x+4y﹣1） =6x2+8xy﹣2x﹣21xy﹣28y2+7y =6x2﹣13xy﹣2x+7y﹣28y2； （3）（1﹣
）（1﹣
）（1﹣
）…（1﹣
）
第12页（共19页）
=
…
===
．
22．因式分解：
（1）ab﹣ac+bc﹣b2 （2）a2﹣2ab+b2﹣c2．
【考点】因式分解-分组分解法． 【分析】（1）首先把前两项分成一组，后两项分成一组，每一组可以提公因式，然后再利用提公因式法即可；
（2）当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组． 【解答】解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2 =（ab﹣ac）+（bc﹣b2） =a（b﹣c）﹣b（b﹣c） =（b﹣c）（a﹣b）．
（2）a2﹣2ab+b2﹣c2， =（a2﹣2ab+b2）﹣c2， =（a﹣b）2﹣c2， =（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）．
23．如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】先求出∠ACB=∠ECD，再利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵∠BCE=∠DCA， ∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE， 即∠ACB=∠ECD，
第13页（共19页）
在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴BC=DC．
，
24．求代数式（a+2b）（a﹣2b）+（a+2b）2﹣4ab的值，其中a=1，b=
．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】先用平方差公式、完全平方公式去括号，再合并同类项，然后把a、b的值代入计算即可．
【解答】解：原式=a2﹣4b2+a2+4ab+4b2﹣4ab=2a2， 当a=1，b=
时，
原式=2×12=2．
25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状，并证明你的结论．
【考点】作图—基本作图；等腰直角三角形． 【分析】（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F．
（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：
（2）△ADF是等腰直角三角形．
第14页（共19页）
理由：∵AB=AC，AD是高， ∴∠BAD=∠CAD
又∵AM是△ABC外角∠CAE的平分线， ∴∠FAD=×180°=90°， ∴AF∥BC，
∴∠CDF=∠AFD． 又∵∠AFD=∠ADF， ∴∠CDF=∠ADF． ∴AD=AF．
∴△ADF是等腰直角三角形． 26．已知+…+
+（ab﹣2）2=0，求
的值．
【考点】分式的化简求值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根． 【分析】根据
+（ab﹣2）2=0，可以求得a、b的值，从而可以求得
+…+
【解答】解：∵
+（ab﹣2）2=0，
的值．
∴
解得，∴===1﹣=
．
+…+
27．某地为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用适量数据，并绘制了如下不完整统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解决下列问题：
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（1）此次调查抽取了多少用户的用水量数据？
（2）补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数；
（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地20万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）根据频数、频率和总量的关系，由用水“0吨～10吨”部分的用户数和所占百分比即可求得此次调查抽取的用户数．
（2）求出用水“15吨～20吨”部分的户数，即可补全频数分布直方图．由用水“20吨～300
吨”部分的户所占百分比乘以360°即可求得扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数．
（3）根据用样本估计总体的思想即可求得该地20万用户中用水全部享受基本价格的用户数．
【解答】解：（1）∵10÷10%=100（户），
∴此次调查抽取了100户用户的用水量数据；
（2）∵用水“15吨～20吨”部分的户数为100﹣10﹣36﹣25﹣9=100﹣80=20（户）， ∴据此补全频数分布直方图如图：
扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数为 （3）∵
×20=13.2（万户）．
×360°=90°；
∴该地20万用户中约有13.2万户居民的用水全部享受基本价格．
28．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
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（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理． 【分析】根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP=CQ；设PA=3a，PB=4a，PC=5a，由已知可判定△PBQ为正三角形从而可得到PQ=4a，再根据勾股定理判定△PQC是直角三角形． 【解答】解：（1）猜想：AP=CQ，
证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°， ∴∠ABP=∠QBC． 又AB=BC，BP=BQ， ∴△ABP≌△CBQ， ∴AP=CQ；
（2）由PA：PB：PC=3：4：5， 可设PA=3a，PB=4a，PC=5a， 连接PQ，在△PBQ中
由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°， ∴△PBQ为正三角形． ∴PQ=4a．
于是在△PQC中
∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2 ∴△PQC是直角三角形．
29．在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：已知a和b求N，这是乘方运算：已知b和N求a，这是开方运算，现在我们研究第三种情况：已知a和N求b，我们称这种运算为对数运算．
定义：如果23=8，所以log28=3：因为32=9，所以log39=2 根据以上信息回答下列问题：
（1）计算：log381= 4 ，log33= 1 ，log636= 2 ，logx16=4，则x= 2 ．
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（2）设ax=M，ay=N（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0），猜想logaMN和loga的结果，并证明．
（3）计算：①log2（2×4×8×16×32×64）；②log3
；③log93+log927．
【考点】整式的混合运算． 【分析】（1）利用题中的新定义求出所求式子的值即可； （2）猜想logaMN=x+y；loga=x﹣y，利用新定义证明即可；
（3）各式利用新定义计算即可得到结果． 【解答】解：（1）log381=log334=4，log33=1，log636=log662=2，logx16=4，则x=2； 故答案为：4；1；2；2；
（2）logaMN=logaM+logaN；loga=logaM﹣logaN； 证明：logaMN=logaax•ay=logaax+y=x+y；logaM+logaN=x+y， 则logaMN=logaM+logaN； loga=loga
=logaax﹣y=x﹣y；logaM﹣logaN=x﹣y，
则loga=logaM﹣logaN；
（3）①原式=log22+log24+log28+log216+log232+log264=1+2+3+4+5+6=21； ②原式=log3243﹣log381=5﹣4=1； ③原式=log93×27=log981=2．
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2016年6月3日
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