第２９卷第１期 ２０１０年１月 浙江海洋学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｏｃｅａｎ ＵｎｉＶｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｖｏ１．２９ Ｎｏ．１ Ｊａｎ．，２０１０ 文章编号：ｔ００８—８３０Ｘ（２０１０）０１—００７０－０４ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ增长竞争种群的最优周期捕获 何再乐，赵向青 （浙江海洋学院数理与信息学院，浙江舟山３１６００４） 摘要：研究具有Ｌｏｇｉｓｔｉｃ增长的两竞争种群的最优周期捕获问题。利用Ｇｒｅｅｎ公式获得了以最大周期捕获量为管理目 标情形两竞争种群的最优捕获策略，从而推广了单种群时的相应结果。 关键词：Ｌｏｇｉｓｔｉｃ增长；竞争；Ｇｒｅｅｎ公式；最优捕获策略 中图分类号：０１７５．１４ 文献标识码：Ａ Ｏｐｔｉｍａｌ Ｈａｒｖｅｓｔｉｎｇ ｆｏｒ Ｃｏｍｐｅｔｉｎｇ Ｓｐｅｃｉｅｓ ｗｉｔｈ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ Ｇｒｏｗｔｈ ＨＥ Ｚａｉ－ｌｅ，ＺＨＡＯ Ｘｉａｎｇ—ｑｉｎｇ （Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｐｈｙｓｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＺｈｅｊｉａｎｇ Ｏｃｅａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｏｕｓｈａｎ ３１６００４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｅ ｓｔｕｄｉｅｄ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｈａｒｖｅｓｔｉｎｇ ｓｔｒａｔｅｇｙ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｗｏ ｃｏｍｐｅｔｉｎｇ ｓｐｅｃｉｅｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ． Ｗｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｈａｒｖｅｓｔｉｎｇ ｓｔｒａｔｅｇｙ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｏ ｃｏｍｐｅｔｉｎｇ ｓｐｅｃｉｅｓ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ ｏｂ—— ｊｅｃｔ ｏｆ ｍａｘｉｍｕｍ ｈａｒｖｅｓｔｉｎｇ ｑｕａｎｔｉｔｙ ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ Ｇｒｅｅｎ’ｓ ｆｏｒｍｕｌａ ｗｈｉｃｈ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｓ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｒ ｓｉｎｇｌｅ ｓｐｅｃｉｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｌｏｇｉｓｔｉｃ ｇｒｏｗｔｈ；ｃｏｍｐｅｔｉｎｇ；Ｇｒｅｅｎ’ｓ ｆｏｒｍｕｌａｅ；ｏｐｔｉｍａｌ ｈａｒｖｅｓｔｉｎｇ ｓｔｒａｔｅｇｙ 大约在１９３８年左右，数学生物学家ｖｅｒｈｕｌｓｔ提出了阻滞增长种群模型，即Ｌｏｇｉｓｔｉｃ增长模型： ｄ ｘ－＝ｘ（ｔ）（卜掣） （１） 其中ｒ是内禀增长率， （曰＞Ｏ）是环境对该种群的最大容纳量。由于该模型考虑到了资源与生存空间 的有限性，提出了最大容纳密度的概念，易见随着生物种群密度向 逼近，增长率越来越低，这与自然界 中的大部分生物种群的繁荣与衰退是相符合的。 生物种群在自然界的生存过程中，总是要不断地从环境中猎取食物，交换能量，种群与环境，种群与种 群之间具有十分复杂的关系。因此，研究单个种群的生存规律是有很大的局限性的，研究多个种群甚至群 落的演化规律将具有更大的现实意义。本文在单种群开发的基础上研究具有Ｌｏｇｉｓｔｉｃ增长的两个相互竞 争种群： Ｊ詈 ｒｌ－Ｄ１ｘ）－ －ｑ１ Ｉ罟 （ｒ２一Ｄ ）一ｋ２ 收稿日期：２００９—１０４９ … 基金项目：浙江海洋学院校级科研项目（Ｘ０８Ｍ０１４）：校级专项科研项目：码头存储空间集装箱定位问题的算法研究 作者简介：何再乐（１９５８一），男，浙江舟山人，副教授，研究方向：生物数学． 第１期 何再乐等：Ｌｏｇｉｓｔｉｃ增长竞争种群的最优周期捕获 ７１ 的开发问题。其中ｑ１２和 分别表示乙对甲和甲对乙的竞争效应的度量，即ｇ ：表示单位数量的乙种群（相 对于 而言１消耗的供养甲种群的食物量为单位数量甲种群（相对于 而言）消耗的供养乙种群的食物量的 倍。ｑ 也可作相应的解释【１】。 合理开发、利用生物资源，实现可持续发展，具有非常重要的现实意义，人们不断探索种群开发问题， 其中的先驱者之一ｃｌ ｒｋ更是集早期工作之大成，撰写了专著《生物经济学））【２］。种群开发的研究范围也越 来越广，由常微模型 到偏微模型 ，由单种群［３－６３到多种群ｆ７＇８】。研究方法日臻完善，例如最优化方法，变分 方法，分布参数控制等等【”。这里特别指出，文献【３，４］借助Ｇｒｅｅｎ公式获得了两类单种群模型的最优周期捕 获策略。本文将此方法推广到方程组。 设一个捕获周期为ｆ０， ，为保证持续捕获，应该满足 （Ｏ） （ｒ），，，（Ｏ） （ ）．不失一般性，我们考虑对 种群甲进行线性捕获ｋｌｘ，对种群乙进行常数捕获 ，所以得到在单位时刻的捕获量为ｋ￣ｘ＋ｋ：，在捕获周期 ［０， 内的捕获总量为： ｆ（后 ＋ｋ ） 从而最大周期捕获的数学模型为： ｍａｘＪ＝ｆ（｜Ｉ｝ ＋Ｊｉ｝：）ａｔ ｄｘ （ｒＤ ）一后 一ｇｌ （３） ｌ—誓＝ｙ（ｒ２－Ｄ２ｙ）一 ｇ 本文的主要结果如卜： 定理具有Ｌｏｇｉｓｔｉｃ增长的两个相互竞争种群的最优开发策略是： ｒｌ＋一ｑ２１一一 ２筹一 相应的最优种群水平是： Ｉ），．＝ １准备工作 为求解这个模型，我们给出如下的预备知识，包括几个基本的定义和一些预备性结果。 １．１基本定义 定义１ｔ３－４１系统初始状态对应于“时间一状态”平面（￡， （￡））中的点 （０，ｘ（ｏ）），从Ａ（０，ｘ（ｏ））到日（Ｔ， （Ｔ））有许多条轨线，每条轨线代表一种策略，我们把每一条轨线叫做一 天 条可行轨线。 如图１所示，ｆ１和 分别表示２条可行轨线。 厂１ 定义２【３ Ｉ睃 ， 是（￡，ｘ（ｔ））平面的任意２条可行轨线，沿 ， 的 ／／—＼ 目标函数值为＾， ，若＾＞矗则称可行轨线ｆ１优于ｆ２。 Ｏ，ｘ《Ｏ｝） ＜－＼、、／＞８ ’ —— 注１根据上面给出的定义１、２，最优化问题ｆ３１的求解等价于寻找一 条最优的轨线ｒ，因为沿厂的目标函数值 最大。 Ｏ 下 为了获得最优轨线，我们需要通过沿封闭曲线ｆ上的目标函数来研 究，因此，定义３ｔ３，４］如图１所示，由可行轨线 ，ｆ２围成的闭曲线记为ｆ， 沿封闭曲线ｆ的目标函数定义为第二型曲线积分 一 。 图１ ７２ １．２预备结果 浙江海洋学院学报（自然科学版） 第２９卷 命题１捕获量（目标函数）．，可以表示成 ‘，＝ｆ （ｒｌ－Ｄ１ ）一ｑ１２ｘ］ｄｔ一 ＋Ｉ【ｙ（ｒ２一Ｄ２ｙ）一ｑｌｚｙ］ｄｔ—ｄｙ＝Ｊ￣＋Ｊ２ 证明：由（２）得到： 广 （４） 【ｋｚ＝ｙ（ｒｚ－Ｄ２ｙ）－ｇ２ 誓 把上式代入目标函数．，得到： （ｒｌ－Ｄｌｘ）－ｇｌ 一 ＋ｙ（ｒ２－Ｄ￣ｙ）－ｇ２ 一誓］ｄｚ 从而 Ｔ．Ｔ． －，－。Ｉ （ｒ】－Ｄ１ｘ）－ｑ１ｚｙ＋ｙ（ｒ２－Ｄ２ｙ）－ｑ２ 】ｄ￡一ｄｘ—ｄｙ＝Ｊ （ｒｌ—Ｄ ）一ｑ２ 】ｄ￡一ｄ ＋ｆ［ｙ（ｒ２－Ｄｚｙ）一ｑ１２ｙ】ｄ￡一ｄｙ＝Ｊ￣＋Ｊ２ ０’ 注２显然，当 ， 均取得最大值时，．，必然取得最大值。 引理１叫段设有平面曲线 ：｛ ，冈 （￡）， （ｔ）） （ｆ）＋Ｑ（ （￡）， （￡）） （ｆ）］ｄｔ 其中 （ｔ）， （￡）在 ，闭上具有一阶连续导函数，且点Ａ和Ｂ的坐标分别为（ （ ）， （ ））与（ （卢）， （ ））。又设Ｐ（ｘ， ）和Ｑ（ｘ，，，）为三上的连续函数，则有计算公式： Ｊｆ Ｌ， Ｐ（ ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝ｆＪ 由命题１和引理１直接得到： 命题２目标函数 ， 可以表示成曲线Ａ ：｛ ’），挺［０， （如图１所示）上的第二型曲线积分形式： Ｊ 口 （ｒａ－Ｄ￣ｘ）一ｑ ］ｄ 一ｄｘ Ｊ ＡＢ［ｙ（ｒ２一ＤＺ）一ｑ１ｚｙ］ｄｔ—ｄｙ 引理２喏函数Ｐ（ｘ，），），Ｑ（ｘ，），）在闭区域Ｄ上连续，且有连续的一阶偏导数，则有Ｇｒｅｅｎ公式： ’ Ｊ（罟一 ｄ ＝』 Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ 这里 为区域Ｄ的边界曲线，并取正方向。 命题３如图１，目标函数．，ｌ， 在封闭曲线 ｆ１－Ｕｆ，上可以表示成二重积分： ，ｒ＝＝ｎ ｊ（ ＋２Ｄａｘ十ｑ２ ）出ｄｘ Ｊ（－ｆ２＋２Ｄｚｙ＋ｑ ）ｄ‘ａｙ ｎ 其中Ｑ为ｆ所围成的区域。 证明：命题２，引理２知道 ． ｎ Ｉ（軎（’１）一÷（ （ ）＿ｇ２ ））ｄ￡ｄｘ＝ｆ（－ｒｌ＋２Ｄ￣ｘ＋ｇ２１）ｄｔｄｘ ｎ 同理可得 ，，的表达式。 ２主要结果的证明 如注２所述，当 ， 取得最大值时，．，取得最大值，下面分别讨论 ， 。 第１期 何再乐等：Ｌｏｇｉｓｔｉｃ增长竞争种群的最优周期捕获 ７３ ＾ 对于．，】。令．，１，，中的被积函数为Ｍ（ｘ（ｔ））＝一ｒ ＋ｇ ＋２Ｄｌｘ，显然Ｍ（ｘ（ｔ））＝Ｏ有 ＾ ／—、 ● 优捕获策略。 ／． ＼ 如图２所示，任取 上方的可行轨线，不妨设为ｆＩ，在厂 上有 （ ） 。 在由可行轨线，ｌ和 连成的曲线ｆ和围成的区域Ｑ中，易见Ｍ（ｘ（ｔ））＞Ｏ，可 Ｏ 知 ０。由定义３可得， 一Ｊｒ．＞Ｏ，故 ＞ 。任取 下方的可行轨线，不妨设 为ｆ２，在ｒ２上有 （ｔ） ，在由可行轨线ｒ２和 连成的曲线ｆ和围成的区域 图２ ｎ中，易见 （ （￡））＜０，Ｙ￣Ｊｒ＜ｏ。由定义３，Ｊ 一 ＜０，从而 ＜ 。故 ’＝ 是由．，１，ｒ确定的可行轨线 中的最优轨线，即最优甲种群密度为 ＝ 。 再对 进行同样的讨论，可以说明 ＝ 是由 ．ｒ确定的可行轨线中的最优轨线，即最优乙种群 密度为 ＝ 。 综上得到最优种群水平： Ｉ），．＝ 将（ ’，ｙ－）代入（４）中解得最优策略： 一特 ｌ忱‘。一 垡！一４Ｄ２ — ２Ｄ１１＝翌２ １ 将（ ‘，．ｉ｝２．）和（ ，），．）代人目标函数得到最优周期捕获量： ，＝』 ＝【 ＋ 注３本文讨论的方程组不含非线性耦合项，即ｘｙ形式的项，捕获量，可以写成 ，其中 的被积 变量只含 ，ｔ；Ｊ２的被积变量只含），，ｔ，从而直接转化为单种群的情况加以处理。然而，对于非线性耦合的种 群模型： Ｉ罟 （ｒ・－Ｄ￣ｘ）一 －ｇｌ Ｉ誓 （ｒ２一Ｄ ）一ｋ２－ｑ 本文的方法无法处理，因为无法将，分解成，－＾＋，，的形式。 参考文献： …１马知恩．种群生态学数学建模与研究ｆＭ１．合肥：安徽教育出版社，１９９６． 【２］ＣＬＡＲＫ Ｍ Ｃ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｂｉｏｅｃｏｎｏｍｉｃｓ［Ｍ］．Ｓｅｃｏｎｄ Ｅｄｉｔｉｏｎ．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ，１９９０． 【３】谭易兰，王秀红．应用Ｇｒｅｅｎ定理解决渔业资源最优捕获问题【Ｊ】．烟台师范学院学报，２００５，２１（３）：１８０—１８２． 【４］古二华，赵向青．具有Ａｌｌｅｅ效应种群的最优周期捕获问题ｆＪ】．浙江海洋学院学报：自然科学版，２００９，２８（３）：３７１—３７４ ｆ５鲁红英．自治单种群模型及其最优捕获策略［５】Ｊ】．系统科学与数学，２００４，２４（２）：２００—２０５． 『６彭奇林．具年龄结构的单种群模型捕获策略的优化『６］Ｊ］．呼伦贝尔学院学报，２００４，１２（４）：７－１０． 『７１徐文兵．与年龄相关的半线性时变种群系统的最优捕获『Ｊ］．数学的实践与认识，２００３，３３（７）：１１２—１１８． 『８１梁志清，周泽文．具扩散的近海捕鱼收获模型『Ｊ１．沈阳师范大学学报：自然科学版，２００５，２３（２）：１２７—１２９． 『９１华东师范大学数学系．数学分析：下册ｆＭ１．第３版．北京：高等教育出版社，２００４．