高中数学必修四全册专题复习

专题一：三 角 函 数

【知识脉络】：

第一块：函数性质与图像

形 状 定义 函数性质 图像 平 移 伸 缩 定义 域 值 域 奇偶性 单调性 周 期 对称性 教学目标： 1、正弦、余弦、正切函数的性质，重点掌握[0,2]上的函数的性质； 2、定义域、值域，重点能求正切函数的定义域；

3、能从图象上认识函数的各类性质，能用自己的语言把函数性质描述清楚，能写出来。

4、理解平移与伸缩

第二块：同角基本关系和诱导公式

同角基本关系就掌握好三个公式：

sin2cos21,tansin1 ,cos22cos1tan特别需要说明的是：平方关系中的开方运算，易错！

诱导公式的记忆方法很简单，联系两角和与差来记就行！如：

cos(333)coscossinsinsin 222诱导公式的理解上，需从两角终边的位置关系来认识，如：

tan()tan中涉及两个角是和，它们的位置是关于原点对称，象限对应关

系是一、三或二、四，所以正切符号相同，直接取等号。其它类似。

第三块：三角变换

和差公式：

cos()coscossinsinsin()sincoscossin cos()coscossinsinsin()sincoscossintantantan()1tantantan()tantan1tantansin22sincoscos2cossin2cos112sin2222

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tan2注意：

2tan

1tan2（1）、倍半关系是相对的，如：sin2sin2cos2，sin42sin2cos2，

cos2cos22112sin22cos22sin22等，根据题目的需要来确定倍角还是半

角；

（2）几个常用的变式：

1sin2(sincos)2,1cos22cos2,1cos22sin2

tan2sin1cos 1cossina,的范围根据需要来确定 bb或acosxbsinxa2b2cos(x)，其中tan，的范围根据需要来确定

aacosxbsinxa2b2sin(x)，其中tancos(x4)22(cosxsinx),sin(x)(sinxcosx) 242【题型示例】：第一部份“三角函数的图象与性质”

 熟记定义、定义域、三角值的符号

1、若角的终边过点P(2a,3a)(a0)，则下列不等式正确的是（ ） A、sintan0 B、sincos0

C、costan0 D、sincos0

2、若角终边上有一点P(sin30,cos30)，则为（其中kZ） A、

62k B、

32k C、

6k D、

3k

3、若sincos0,costan0，则

位于 22x，则x= 4A、一、三象限 B、二、四象限 C、一、二象限 D、三、四象限 4、已知角终边上一点P(x,2)，且cos5、函数ytan(2x4)的定义域为

 单调性：求单调区间是重点，三角的单调区间的求法是比较特殊的，掌握好例题所示的

方法；另一类题型为比较大小，但都比较简单。 【例题1】（1）求函数ysin(2x6)的单调增区间

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解：由22k2x622k,kZ得，3kx6k,kZ。

所以，函数的单调增区间为：[（2）求函数ycos(x（3）求函数ytan(2x7、函数ysin(xA、[3k,6k],kZ

124)的单调减区间 。

4)的单调区间 。

6)的一个减区间是 。

337,0] B、[,] C、[,] D、[,] 24422362sinx1有意义的范围是

8、在[0,2)内，使函数yA、[5711711,] B、[0,][,] C、[,] D、[,][,2] 666666661724319、acos,bcos,ccos，则

555A、abc B、abc C、cab D、cba

510、若直线的斜率满足：k3，则直线的倾斜角的范围为  奇偶性：联系函数图像来理解奇偶性，即图像的对称性。  奇函数：ysinx,ytanx，偶函数：ycosx  注意变化：如，ysin(x6)。图像平移，可能会改变函数的奇偶性，也有可能不发

生改变，如函数ysin(x)。观察图象，很容易得到正确的结论。 11、若函数ysin(x)为奇函数，则的值为（kZ） A、k B、k2 C、k6 D、k3

12、若函数ycos(x)为奇函数，则的值为（kZ） A、k B、k2 C、k6 D、k3

 图像的对称性：注意观察图象，从图象上找出对称轴和对称中心的位置。 ysinx

对称轴方程：xky o 2(kZ) 对称中心：(k,0),kZ x 文案大全

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ycosx

y o 对称轴方程：xk,kZ· 对称中心：(k2x ,0),kZ

理解：语义上，过顶点与X轴垂直的直线都是正、余弦函数的对称轴，而正、余弦曲线与X轴的每一个交点都是正、余弦函数的对称中心。

函数性质上看，若对称轴为xx，则f(x)必为函数的最大或最小值；若对称点为

(x,0)，则f(x)0。注意，平移产生的变化。

13、函数ysin(2xA、x

4)的一条对称轴方程是

8

B、x8 C、x4 D、x4

14、函数ycos(xA、(5)的一个对称中心是

334,0) B、(,0) C、(,0) D、(,0) 101055115、函数y2sin(x)1的对称轴方程为 ，

23对称中心为

 值域和最值：

1、 掌握好基本函数的值域和最值情况

（1）ysinx(xR)值域为[1,1]，当x2k当x2k2(kZ)时，(sinx)max1；

2(kZ)时，(sinx)min1。

注解：联系图象或在象限内认识和记忆值域，效果会更好。

（2）ycosx(xR)的值域为[1,1]，当x2k(kZ)时，(cosx)max1； 当x(2k1)(kZ)时，(cosx)min1。

注解：联系图象或在象限内认识和记忆值域，效果会更好。 （3）ytanx(xk2)的值域为R，不存在最大值和最小值。

2、理解：函数值域会因定义域的改变而改变，掌握好下面例题所示的方法。 【例题2】若4x4，求下列函数的值域：

（1）y2sinx1 （2）y12sinx （3）y2sin(2x

6)

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16、若4x3，求函数y12sin(2x)的值域，并求出函数取最大值时的x的46取值集合。

【题型示例】第二部分“同角基本关系和诱导公式”

 诱导公式：主要功能是用于化“大角”（超出[0,2]）为“小角”  公式：略

3、掌握两类基本型：

（1）关于sinx或cosx的二次函数型

【例题3】（1）求函数ycosxsinx(xR)的最大值和最小值，并求出对应的x的取值。

22解：ycosxsinxcosxcosx1，若令tcosx，则ytt1(t)222125 4ymaxy(1)1,即tcosx1,得x2k,kZ由tcosx[1,1]得：

ymin 151y(),即tcosx得x2k,kZ2423

17、求函数ysinx2cosx(xR)的最大值和最小值，并求出对应的x的取值。

（2）可转化为yAsin(x)B或yAcos(x)B 【例题4】、形如acosxbsinx的函数可转化为上面的型 求下列函数的最值：

（1）ysinxcosx，xR

（2）ycosxsinx，xR

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（3）ycosx3sinx，xR

（4）y3cosxsinx，xR

（5）y3sinx4cosx，xR （6）y

（7）ysinxcosx，x[0,

（8）y3sinxcosx，x[5cosx15sinx，xR

2]

,] 22

【例题5】借助三角变换转化成上面的型 求下列函数的最值：

（1） 已知函数f(x)2sinx2cosx,6

2（2） 已知f(x)2cosxx, 23sin2xa,(aR)

22

（3） 已知函数f(x)=sinx+3sinxcosx+2cosx,xR.

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（4）已知向量a(sinx,1)，b(cosx,)，f(x)a(ab)

218、已知f(x)sinx3sinxcosxa,(aR)，（1）设x[0,122]，则a为何值时，

f(x)的最大值为4？（2）若

 周期性：

13f(x)，求a的取值范围。 22（1）周期的符号形式：f(xT)f(x),T为非零常数。如，sin(x2k)sinx，所以

2k(kZ)为正弦函数的周期。其它一些函数也是有周期的：

（2）最小正周期：若T为函数f(x)的周期，则nT(nZ)也必为函数f(x)的周期，因此，函数的周期是有无数个的，其中正的最小的一个周期，称为函数的最小正周期，比如，

正弦、余弦函数的最小正周期为2，正切函数的最小正周期为

（3）最小正周期的计算公式：对于yAsin(x)B或yAcos(x)B，则

T2；对于yAtan(x)B，则T。特别注意：也只有上面三种形式下的三角函数才能使用最小正周期的计算公式！ 19、求下列函数的最小正周期： （1）ysin(2x

22（4）ycosxsinx （5）ycosx3sinx （6）ysinxcosx

3) （2）y3cos(51)2（3）y12tan(3x) 623

1(xR)，则f(x)是（ ） 2A、最小正周期为的偶函数 B、最小正周期为的奇函数

C、最小正周期为2的偶函数 D、最小正周期为的奇函数

2（7）（2007年广东高考）若函数，f(x)sinx2（8）ytanxcotx （9）y1sinx （10）ysinx

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 图像：

（1）关于“五点作图法”，以正弦函数为例进行说明。 第一、ysinx，x[0,2]

表一 x 0 0  21  0 ysinx 3 21 2 0 此表是基础，请注意总结“五点”的规律或特征： 第二、请画出函数ysin(2x处理思想，令t2x4)在一个周期上的草图。

4，则ysint，类比表一即可。

表二 x  8t2x4 0 3 8 21 5 8 0 ysintsin(2x) 4

得到“五点”分别为：(0 7 83 21 9 82 0 3579,0),(,1),(,0),(,1),(,0) 888881210第三、画出函数y12sin(x)在区间[,]上的草图。

2633注意：与“第二”的区别，“第二”没有限定x的取值范围，题中要求的“一个周期”可以自己设定，但“第三”中x的范围是固定的.注意到这个给定的范围也正好是函数的一个周

期。

问题：怎么求出“五点”呢？ 分析：首先注意到，x,y2;23x10,y2，这是函数的起点和终点，联系3正弦曲线的变化规律，第二个点应该回到“平衡点”（类比ysinx与X轴的交点），第三个点应该是最低点，第四个点应该是“平衡点”，第五个点应该是最高点，第六个点就是终点。于是得到下表：

表三 x 2 31x 26 3t 60 2 3 25 3 7 33 210 311 6文案大全

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y12sint112sin(x)26 2 1 1 1 2 3 （2）三类图象变换

第一、对称：知道几种常见的对称变换，不做深要求。 ①yf(x)与yf(x)关于y轴对称 ②yf(x)与yf(x)关于x轴对称 ③yf(x)与yf(x)关于原点对称

④yf(x)即为yf(x)图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，x轴上方的图象不变化。 ⑤yf(x)即为yf(x)图象y轴右侧部分不变，左侧部分沿y轴翻折形成。 第二、平移：只是位置变化，函数性质中除奇偶性外，其它性质不变。

横向平移：即f(x)f(x)。 为正则向左平移，为负则向右平移。 纵向平移：即f(x)f(x)h h为正则向上平移，h为负则向下平移。 第三、伸缩：有横向和纵向的伸缩，只要求掌握三角函数的伸缩变化。 横向伸缩：f(x)f(x)

若1，则横向被压缩，导致周期变小； 若1，则横向伸长，导致周期变大。 纵向伸缩：f(x)f(x)

若1，则振幅变大； 若1，则振幅变小。 【例题6】认识yAsin(x)的图象 （1）几个名称： 符号 名称 A 振幅 T2 f1 T x 相位  初相 周期 频率 （2）平移伸缩的认识：举例ysinxy2sin(x123)

变换过程：有两种，“先平移，再伸缩”和“先伸缩，再平移” ①先平移，再伸缩：

1将横坐标伸长为原来的两倍ysinxysin(x)ysin(x)323向右平移单位3文案大全

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1将纵坐标伸长为原来的两倍y2sin(x)

23②先伸缩，再平移。

2向右平移单位1123ysinxysinxysin(x)

223将横坐标伸长为原来的两倍1将纵坐标伸长为原来的两倍y2sin(x)

23说明：若想更好、更清楚地认识这两个不同的过程（相同的结果），最好的办法就是用“五

点法”作图，把上述过程中每一步都画一个图。 20、（1）仿上写出ysinxy

1sin(2x)的变化过程 26)的图象，只需将函数ysin(x)图像上的点（ ） 551A、 横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B、横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变

21C、 纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变 D、纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变

211（3）为了得到函数ysin(x)的图象，只需将ysinx的图象上每一个点（ ）

232A、横坐标向左平移个单位长度 B、横坐标向右平移个单位长度

3322C、横坐标向左平移个单位长度 D、横坐标向右平移个单位长度

331（4）为了得到函数ycos(x)的图像，只需将余弦函数图像上各点（ ）

3A、向左平移个单位长度 B、向右平移个单位长度

3311C、向左平移个单位长度 D、向左平移个单位长度

3311（5）为了得到函数ysin(x)的图像，只需将函数ysin(x)的图像上各点

4434（ ）

（2）为了得到函数ysin(2x43倍，纵坐标不变 B、横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变 3443C、 纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 D、纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变

344（6）将函数ycos(2x)的图像上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原

52A、 横坐标伸长为原来的

来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图像的函数解析式为（ ）

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4) B、y4cos(x) C、y4cos(4x) D、y4sin(4x) 55551（7）将函数y2sin(x)的图像作怎样的变换可以得到函数ysinx的图像？写出

321y2sin(x)ycosx的变换过程。

32A、y4cos(4x

（8）有以下四种变换方式：

1个单位长度，现将每个点的横坐标缩短为原来的倍； 421②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的倍；

821③每个点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度；

281④每个点的横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位长度。

28其中能将函数ysinx的图像变为函数ysin(2x)的图像的是（ ）

4①向左平移

A、①和④ B、①和③ C、②和④ D、②和③ （9）将函数ysin(2xx)的图像作怎样的变换可以得到函数ysin()的图像？ 226【单元过关练习】 A卷

满分：130分 时间：120分钟

一、选择题（每小题5分，共50分） 1、已知集合AA、

3，则使xA成立的x是（ ） 225387  B、 C、 D、6434310，则cos（ ） 102、已知终边上一点P(m,3m)，且sinA、

101010310 B、 C、 D、 101010103、函数ytan2x为（ ）

A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的偶函数

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C、最小正周期为

的奇函数 D、最小正周期为的偶函数 2224、函数y2sinxcosx(xR)的最小值为（ ） A、 2 B、0 C、1 D、2 6、函数ysin(2xA、x4)的一条对称轴方程是（ ）

8 B、x8 C、x D、x2

7、要得到函数y3sin(2xA、向左平移

4)的图像，只需将函数y3sin2x的图像（ ）

个单位 B、向右平移处单位 44C、向左平移个单位 D、向右平移个单位

8818、函数y2cos(x)的一个单调增区间是（ ）

26511713A、[0,2] B、[2,4] C、[,] D、[,]

33339、关于函数ycosx3sinx的四个论断中错误的是（ ） A、最小正周期为2 B、值域为[2,2] C、一个对称中心为(6,0) D、可由ycosx向右平移

所得 310、在区间[0,2]内使不等式：12sinx1成立的角x的范围是（ ）

5711711,][,2] B、[,][,2]

666666657115711C、[,][,2] D、[0,][,][,2]

6666666A、[0,][二、填空题（每小题5分，共30分）

11、已知角的终边上一点P(4m,3m)(m0)，则sin ，tan ； 12、函数ytan(x3)的最小正周期为 ；

513、函数yasin(2x4)1(a0)的最大值为 ，最小值为 ，

取最小值时x的取值集合为 ； 14、函数ycos(52x)的增区间为 ；

215、关于函数ycos(x)sin2(x)有四个论断： 44①是偶函数；②最小正周期是；③值域为[1,1]；④一个对称中心为(,0)

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其中正确命题的序号是 （填上你认为所有正确的命题序号） 16、如果一个函数满足：f(x1)f(x1),f(x)f(x)0，且f(1)0，试写出一个这样的函数： 。 三、解答题

17、（10分）用“五点法”作出函数ysin(3x

18、（12分）试用图像变换的两种方式写出：函数y = sinx的图像变换到函数y = sin (的图像的变换过程．

19、（14分）已知点P(2,y)是角终边上一点，且sin4)一个周期内的草图（要求列表）。

x+)2322求y的值； 3（1） 设02，以OP为半径，原点O为圆心作圆，与x轴正半轴交于Q点，求

OPQ的面积。

20、（14分）简谐振动y3sin(2x5) 6文案大全

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（1）求简谐振动的振幅、初相和频率；（2）若0x2，求函数的最大值和最小值。 （3）要得到函数ysinx的图像，可由y3sin(2x变换过程。

5)经过怎样的变换得到？试写出6【单元过关练习】 B卷

一、选择题（每小题5分，共50分） 1、已知集合AA、(2k,2k sincos0,Btancos0，kZ，则AB（ ）

2) B、(2k2,2k)

3) D、(2k,2k) 22222、扇形的中心角为，半径为3，则扇形的弧长为（ ）A、 B、2 C、 D、

332 3C、(2k,2k3、已知为第三象限角，则

所在的象限是 （ ） 2A、第一或第二象限 B、第二或第三象限 C、第一或第三象限 D、第二或第四象限 4、时钟的分针经过40分钟时间旋转的角度是 （ ） A、

2442 B、 C、  D、

9339sinxcosxtanx5、函数y的值域是（ ） sinxcosxtanx1,1,3 A、1 B、3,1 C、3 D、6、角α的终边落在y=-x(x＞0)上，则sinα的值等于（ ） A. ±

2221 B. C.± D. -

22227、函数y＝sinx+cosx的定义域为（ ）

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,2kπ+π］，k∈Z 23C. ［2kπ-,2kπ］，k∈Z D. ［2kπ+π,2kπ+］，k∈Z

228、把函数ysin3x的图像向右平移个单位，所得曲线的对应函数式（ ）

433A. y=sin(3x-π) B.y=sin(3x+) C. y=sin(3x-) D.y=sin(3x+π)

44449、函数y3sin(2x)(x[0,])的单调递增区间是（ ）

65211211A、 [0,] B、[,] C、[,] D、[,]

1263612312A.［2kπ,2kπ+

B.［2kπ+

］，k∈Z 210、f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x5)f(x),f(17)5,则f(2)（ ） A 、5 B、5 C 、0 D 、二、填空题（每小题5分，共30分）

11、如果角的终边过点(2sin30,2cos30),则sin的值等于 ； 12、若函数ycos(kx1 56) 的周期为4π，则k的值为 ；

31，最小值为，则2ab的值为 ； 2213、如果函数ybacosx(a0)的最大值为14、写出函数y3sin(2x24)的两条对称轴方程分别为 ；

15、函数ycosxsinx(0x2)的最大值为 ；

3成立；②对任216、关于函数ysinxcosx的四个论断：①存在x，使sinxcosx意的x，都有f(x2)f(x)；③对任意的x，都有f(一个对称中心是(33x)f(x)；④函数的444,0)。

其中正确的序号为 。

三、解答题

17、（14分）函数yAsin(x),(A0,0,（1） 求函数的解析式；

（2） 用“五点法” 画出函数在区间[

2)的部分图象如图所示，

76,6]上的草图。

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18、（14分）已知向量a(sinx,1)，b(cosx,)，定义函数f(x)a(a+b) （1） 求函数的最小正周期；求函数的单调区间；（3） 求函数的最值。

19、（16分）弹簧上挂着的小球做上下振动,它在时间t(秒)内离开平衡位置(就是静止时位

置)的距离为h(厘米)由下面函数关系决定:h3sin2t12. 4①以t为横坐标, h为纵坐标作出这个函数的图象(0≤t≤π); ②求小球开始振动的位置;

③求小球上升到最高点和下降到最低点的位置; ④经过多少时间, 小球往返振动一次?

20、（8分）已知f(x)sinx(x<0), 求

f(x1)1(x>0),11f611f的值． 6文案大全

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专题一（副题）三角函数的图象和性质（一）

教学目标：

1、 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和

函数yAsin(x)的简图； 2、 理解A,,的物理意义，掌握由函数ysinx的图象到函数yAsin(x)的图象

的变换原理;

3、 掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.

教学重点：函数ysinx的图象到函数yAsin(x)的图象的变换方法．

一、知识点归纳：

1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数yAsin(x)的简图.

2.函数ysinx的图象到函数yAsin(x)的图象的两种主要途径． 3.掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心. 4.会由三角函数图象求出相应的解析式.

二、知识点解析：

1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数yAsin(x)的简图，五个特殊点通常都是取

三个平衡点，一个最高、一个最低点；

本质为待定系数法，2.给出图象求yAsin(x)B的解析式的难点在于,的确定，

基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期T，进而确定．

2中心的横坐标是方程xkkZ的解，对称中心的纵坐标为0.( 即整体代换法)

3.对称性:1函数yAsin(x)对称轴可由xkkZ解出；对称

2函数yAcosx对称轴可由xkkZ解出；对称中心的纵坐标是方

程xkkZ的解，对称中心的横坐标为0.( 即整体代换法)

23函数yAtanx对称中心的横坐标可由xkkZ解出，对称中心的

2纵坐标为0，函数ytanx不具有轴对称性.

4.A0时，yAsinx，当x2k2kZ时，有最大值A，

当x2kkZ时,有最小值A；A0时，与上述情况相反.

2（三）典例分析：

问题1． 已知函数y2sin(x)xR.

23文案大全

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1用“五点法”画出它的图象；2求它的振幅、周期和初相； 3说明该函数的图象可由ysinx的图象经过怎样的变换而得到.

ππ问题2．1(07海南)函数ysin在区2x，π的简图是

y3

31 x

2 3y21  2 O 61 1 A.y O 1 y6 x 3 1 .B6 2 6 O x 2 O 1 31 x

2(05天津文)函数yAsin(x)0,C.

的部分图象如图所示，则函数表达式为 A.y4sin(D.y ,xR24 8x4) B.y4sin(8x4)

C.y4sin(x) D.y4sin(x) 8484

2O 46 x 3已知函数yAsin(x)（A0,||）

的一段图象如下图所示，求该函数的解析式．

y

到图象对应解析式是

43 22 23 O 83 x 问题3．1将函数y5sin(3x)的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移3，得

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A.y5sin(33x73x3x)B.y5sin()C.y5sin(6x) D.y5cos 2210262x2（07山东文）要得到函数ysinx的图象，只需将函数ycos

的图象 A.向右平移

个单位；B.向右平移个单位； C.向左平移个单位；D.向左平移个单位

3（04山东）为了得到函数ysin(2x6)的图象，可以将函数ycos2x的图象

个单位长度 B. 向右平移个单位长度 63C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度

63A.向右平移

x问题4．1(07福建)已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则

0对称 B.关于直线x该函数的图象 A.关于点，



对称 对称 0对称 D..关于直线xC.关于点，

2（05山东）已知函数ysin(x)cos(x)，则下列判断正确的是 1212,0 12 A.此函数的最小正周期为2，其图象的一个对称中心是 B.此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是,0 12,0 6 C.此函数的最小正周期为2，其图象的一个对称中心是D.此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是,0 6cos2x)，b(1sin2x，1)，问题5．（07陕西）设函数f(x)ab，其中向量a(m，2．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最xR，且yf(x)的图象经过点，小值及此时x值的集合．

π4文案大全

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（四）课外作业：

1.要得到ysin2xcos2x的图象，只需将ysin2xcos2x的图象

ππππ A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D.向右平移

88442.如果函数ysin2xacos2x的图象关于直线x对称，则a 8（五）走向高考：

图象上所有的点的

4.（05天津）要得到函数y2cosx的图象，只需将函数y2sin(2x)的

41A.横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度

281B.横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度

24C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度

4D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度

85.（06江苏）为了得到函数y2sin(),xR的图像，只需把函数y2sinx,xR的

6x3图像上所有的点

6B.向右平移

6C.向左平移

6D.向右平移

6A.向左平移

1个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

31个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

6. (07安徽)函数f(x)3sin2x的图象为C，

①图象C关于直线x115对称；②函数f(x)在区间，内是增函数； 12文案大全

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③由y3sin2x的图象向右平移

个单位长度可以得到图象C． 以上三个论断中，正确论断的个数是

A.0 B.1 C.2 D.3 y7.（06安徽）将函数ysinx(0)的图象按向量 1a,0平移，平移后的图象如图所示，

6则平移后的图象所对应函数的解析式是

A.ysin(x) B.ysin(x)

1 66C.ysin(2x) D.ysin(2x)

338.（05福建）函数ysin(x)(xR,0, y02)的部分图象如图，则

1 A., B., 24365 C., D.,O 14444O 712 x 3 x 9.（07福建）已知函数f(x)sinx(0)的最小正周期为，则该函数的图象



0对称B.关于直线x对称C.关于点，0对称D.关于直线x对称 A.关于点，

ππ10.（07广东文）已知简谐运动f(x)2sinx的图象经过点(0，1)，则

32该简谐运动的最小正周期T和初相分别为

A.T6，ππππ；B.T6，；C.T6π，；D.T6π， 636311.（06陕西）已知函数f(x)3sin(2x)2sin2(x)(xR).

612（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求使函数f(x)取得最大值的x集合.

12.（05全国Ⅰ文）设函数f(x)sin(2x) (0),yf(x)图像的一条对称轴

是直线x8.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数yf(x)的单调增区间；

（Ⅲ）画出函数yf(x)在区间[0,]上的图像。

其图象关13. (03全国)已知函数f(x)sin(x)(0,0)是R上的偶函数，

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于点M(

3上是单调函数。求和的值。 ,0)对称，且在区间0,42

三角函数的图象和性质（二）

教学目标：掌握三角函数的定义域、值域的求法；理解周期函数与最小正周期的意义，会

求经过简单的恒等变形可化为yAsin(x)或yAtan(x)的三角函数的周期． 教学重点：求三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提． （一）知识点归纳：

值域 [1,1] 周期 2 三角函数的定义域、值域及周期如下表： 函数 定义域 ysinx R ycosx R [1,1] 2 ytanx {x|xk2,kZ} R  （二）知识点解析： 1.求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函数的图象或三角函

数线确定三角不等式的解．列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域；

2.求三角函数的值域的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求yAsin(x)B的值域；③化为关于sinx（或cosx）的二次函数式；

3.三角函数的周期问题一般将函数式化为yAf(x)（其中f(x)为三角函数，0）．

（三）典例分析： 问题1． 求下列函数的定义域:

1 f(x)

3tanx；2 f(x)tan(sinx)；3 f(x)2cosx1

tanx1

问题2．求下列函数的值域：

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2sinxcos2xcosx3sinx1sinx；2y；3ylog2；4y． 1y1sinx2cosx13sinx3cosx

问题3．求下列函数的周期：

sin2xsin(2x)3；2y2sin(x)sinx；3ycos4xsin4x

1y2cos4xsin4xcos2xcos(2x)3

问题4．已知函数fxacos2x2为5,1，求常数a,b的值．

3asinxcosx2ab的定义域为0,



，值域2

（四）课后作业：

1.求函数ylgsinx1cosx的定义域. 22.函数ysinx16x2的定义域为

3.若方程cos2x23sinxcosxk1有解，则k 4.（05江西）设函数f(x)sin3xsin3x，则f(x)为（ ）

2A.周期函数，最小正周期为 B.周期函数，最小正周期为

33C.周期函数，数小正周期为2 D.非周期函数

5.（05全国Ⅱ）函数f(x)sinxcosx的最小正周期是 A. B.C. D.2

426.函数ysin6xcos6x的最小正周期为 文案大全

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7.函数ytanxcotx的周期是

6cos4x5sin2x4，求fx的定义域，判断它的奇偶性，并求其8.已知函数fxcos2x值域

（五）走向高考：

9.（04四川）函数ysin4xcos2x的最小正周期为 A.10.（07上海）函数ysinxπ3 B. C.D.2 42πsinx的最小正周期T 2已知函数f(x)2sinx0在区间,上的最小值是2，则 11.（06福建）

34 的最小值等于 A.23 B. C.2 D.3 3212.（07安徽文）解不等式(3x11)(sinx2)0．

13.（07天津）已知函数f(x)2cosx(sinxcosx)1，xR．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间，上的最小值和最大值．

84文案大全

π3π实用标准文档

14.（07重庆）设f(x)6cos2x3sin2x．（Ⅰ）求f(x)的最大值及最小正周期；

（Ⅱ）若锐角满足f()323，求tan

4的值． 5专题二：平面向量及其运用

教学目标

考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积. 考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积. 考点3：解斜三角形.

考点4：线段的定比分点、平移公式. 考点5：向量的运用. 基本概念检测：

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1、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做向量； 2、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做共线向量（平行向量）； 3、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做相等向量； 4、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做单位向量.

5、 向量加法法则是＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿.减法法则是＿＿＿＿＿＿＿＿. 6、设ax1,y1,bx2,y2，R，ab＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

a－ b＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. a＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. cos< a, b>=____________=__________________.

a∥ b＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿；a⊥ b＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿. 6、 正弦定理的内容是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 7、 余弦定理的内容是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 9、定比分点坐标公式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（其中＝＿＿＿＿＿＿）. 10、平移公式是 ____________________. 【重点难点热点】

问题1：向量的有关概念与运算

此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.

例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是 .

思路分析：与a平行的单位向量e=±a|a|

方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a =(x-3,y+1)，则题意可知

1218121189xx，故填 (,-)或(,-) 4(x3)3(y1)055　解得或555522（）（y＋1）1x－3y1y955方法二 与向量b = (-3,4)平行的单位向量是±

134(-3,4)，故可得a＝±(-,)，从而555向量a的终点坐标是(x,y)= a－(3,－1),便可得结果.

点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.

例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角是多少？

思路分析：要计算x与y的夹角θ，需求出|x|,|y|,x·y的值.计算时要注意计算的准确性.

解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα=要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x·y的值.

1. 2文案大全

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∵|x|=x=(2a－b)=4a－4a·b+b=4－4×|y|=y=(3b－a)=9b－6b·a+a=9－6×

2

2

2

2

2

22222

1+1=3， 21+1=7. 2x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a2－3b2+a·b

13－2－3=－， 223又∵x·y=|x||y|cosθ，即－=3×7cosθ，

2 =7a·b－2a－3b =7×

2

2

∴cosθ=－

212121，θ=π－arccos.即x与y的夹角是π－arccos 1414142

2

点评：①本题利用模的性质|a|=a，②在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设AB=b, AC=a, AD=2a,∠BAC=60°.由向量减法的几何意义，得BD=AD－AB=2a－b.由余弦定理易得|BD|=3，即|x|=3，同理可得|y|=7.

问题2：平面向量与函数、不等式的综合运用

当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向量数量积的公式和性质.

例3．已知平面向量a＝(3，－1)，b＝(1,

22

3).

2(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；

(2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间.

思路分析：①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？

t22333t2232解：（1）法一：由题意知x＝(,),

22y＝(

31t－3k，t＋k)，又x⊥y

22t22333t223231故x · y＝×（t－3k）＋×(t＋k)＝0.

2222文案大全

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整理得：t－3t－4k＝0，即k＝

3

133t－t. 4413法二：∵a＝(3，－1)，b＝(, ), ∴. a＝2，b＝1且a⊥b

22∵x⊥y，∴x · y＝0，即－ka＋t(t－3)b＝0，∴t－3t－4k＝0,即k＝(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝

2

2

2

3

133t－t 44133333t－t ∴kˊ＝fˊ(t) ＝t－, 4444令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.

故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）. 点评： 第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.

演变3： 已知平面向量a＝(

313，－1)，b＝(，)，若存在不为零的实数k和

22角α，使向量c＝a＋(sinα－3)b, d＝－ka＋(sinα)b,且c⊥d，试求实数k 的取值范围.

点拨与提示：将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.

演变4：已知向量a(1,2),b(2,1)，若正数k和t使得向量

1xa(t21)b与ykab垂直，求k的最小值.

t点拨与提示：（1）利用向量垂直的充要条件找到k与t之间的等量关系.（2）利用均值不等式求最值.

问题3：平面向量与三角函数的综合运用

向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.

例4．设函数f (x)＝a · b，其中向量a＝(2cosx , 1), b＝(cosx,3sin2x), x∈R.

（1）若f(x)＝1－3且x∈[－

，]，求x； 33)平移后得到函数y＝f(x)2（2）若函数y＝2sin2x的图象按向量c＝(m , n) (m﹤的图象，求实数m、n的值.

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思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，

解： (1)依题设，f(x)＝（2cosx，1）·(cosx,3sin2x)

＝2cosx＋3sin2x＝1＋2sin(2x＋

2

) 6由1＋2sin(2x＋

3)=1－3，得sin(2x＋)＝－.

2665≤x≤ , ∴－≤2x＋≤,

63326∴2x＋=－, 即x＝－.

634∵－

（2）函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m , n）平移后得到函数y＝2sin2(x－m)+n的图象，即函数y＝f(x)的图象.

由(1)得f (x)＝2sin2(x12)1 ∵m＜

， ∴m＝－，n＝1.

122 点评： ①把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是Cˊ，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.②一般地，函数y＝f (x)的图象按向量a＝(h , k)平移后的函数解析式为y－k＝f（x－h）

演变5：已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，

（1）求证： a+b与a-b互相垂直；

（2）若ka+b与a-kb的模大小相等(k∈R且k≠0)，求β－α

【临阵磨枪】

1．已知向量a(1,2),b(2,4),|c|5,若(ab)c5,则a与c的夹角为（ ） 2A 30° B 60° C 120° D 150°

2．已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线ymx7与线段M1M2的交点分有向线段M1M2的比为3：2，则的值为 （ ）

A 321 B  C D 4 2343．已知a,b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是（ ）

A

25 B C D 6336文案大全

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4．已知向量OB=(2，0),向量OC=（2，2），向量CA=（2cos,2sin），则向量

OA与向量OB的夹角的范围为 （ ）

A ［0，

555］ B ［，］ C ［，］ D ［，］ 441212212122

5．设坐标原点为O，抛物线y=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则OA·OB=（ ）

A

33 B  C 3 D －3 446．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λ()，

[0,)，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心

7．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v(4,3)（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为v个单位）．设开始时点P的坐标为（－１０，１０），则５秒后点P的坐标为（ ）

A （-2，4） B （-30，25） C （10，-5） D （5，-10）

8．已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则（ ）

A a⊥e B a⊥(a－e) C e⊥(a－e) D (a＋e)⊥(a－e) 9．P是△ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，则P是△ABC的（D ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心

444222

10．△ABC中，若a+b+c=2c(a+b)，则∠C度数是：

A 60 B 45或135 C 120 D 30

11．已知向量a=(cos,sin)，向量b=(3,1)，则|2a－b|的最大值是 12．把函数y=2x－4x＋5的图像按向量a平移，得到y=2x的图像，且a⊥b，c=(1,－1)，b·c=4，则b=

13．已知平面上三点A、B、C满足|AB|=3,|BC|=4，|CA|=5,则

2

2

0

0

0

0

0

ABBCBCCACAAB的值等于 .

14．在ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则OA(OBOC)的最小值是_____. 15．已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－＜θ＜．

22

（Ⅰ）若a⊥b，求θ；（Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．

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16．06年江西卷）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是

边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G， 设MGA＝（

A32） 3BMDN（1） 试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2） 表示为的函数 （2） 求y＝高考真题

C11的最大值与最小值 ＋S12S22安徽2011（14）已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）=－6，且a，b2，则a与b的夹角为 .

安徽2010 16、（本小题满分12分）

ABC的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c，cosA (Ⅰ)求ABAC；

(Ⅱ)若cb1，求a的值。

安徽2009（14）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或AC=AE+AF,其中,R ,则+=  _________.

12。 13文案大全