高中数学选修2-2知识点

第一章 导数及其应用

一．导数概念的引入

1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是

x0limf(x0x)f(x0)，

x我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0， 即f(x0)=limx0f(x0x)f(x0)

x2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点Pn趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易

知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0)，当点Pn趋近于P时，函数yf(x)在xx0处的导

xnx0f(xn)f(x0)f(x0)

xnx0数就是切线PT的斜率k，即klimx03. 导函数：当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数. yf(x)的导函数有

时也记作y,即f(x)limx0f(xx)f(x)

x

二.导数的计算

1）基本初等函数的导数公式:

1若f(x)c(c为常数)，则f(x)0；

2 若f(x)x,则f(x)x1;

3 若f(x)sinx,则f(x)cosx 4 若f(x)cosx,则f(x)sinx;

x5 若f(x)a,则f(x)alna

xxx6 若f(x)e,则f(x)e

1 xlna18 若f(x)lnx,则f(x)

xx7 若f(x)loga,则f(x)2）导数的运算法则

1. [f(x)g(x)]f(x)g(x)

2. [f(x)•g(x)]f(x)•g(x)f(x)•g(x) 3. [f(x)f(x)•g(x)f(x)•g(x)] 2g(x)[g(x)]3）复合函数求导

yf(u)和ug(x),称则y可以表示成为x的函数,即yf(g(x))为一个复合函数 yf(g(x))•g(x)

三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:

一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

在某个区间(a,b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递增； 如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数yf(x)的极值的方法是:

(1) 如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值; (2) 如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数

函数极大值与最大值之间的关系.

求函数yf(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数yf(x)在(a,b)内的极值；

（2） 将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.

四.生活中的优化问题

利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

第二章 推理与证明

知识结构

合情推理 推理 推理与证明 证明 间接证明 数学归纳法 演绎推理 归纳推理 类比推理 比较法 直接证明 综合法 分析法 反证法 1、归纳推理

把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤：

•通过观察个别情况发现某些相同的性质；

•从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）； •证明（视题目要求，可有可无）. 2、类比推理

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤：

•找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

•用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； •检验猜想。 3、合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.

归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理． 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论”，包括 ⑴大前提-----已知的一般原理； ⑵小前提-----所研究的特殊情况；

⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．

用集合的观点来理解：若集合M中的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.

M ·a S

从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确. 5、直接证明与间接证明

⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.

⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示： 要点：逆推证法；执果索因.

⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤： (1)（反设）假设命题的结论不成立；

(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止； (3)（归谬）断言假设不成立；

(4)（结论）肯定原命题的结论成立. 6、数学归纳法

数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法. 用数学归纳法证明命题的步骤;

*（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成立；

*（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN)时命题成立，推证当nk1时命题也成立. 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等.

第三章 数系的扩充与复数的引入

一:复数的概念

(1) 复数:形如abi(aR,bR)的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部.

(2) 分类:复数abi(aR,bR)中,当b0,就是实数; b0,叫做虚数;当a0,b0时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.

(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.

(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。 (6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 2．相关公式

⑴abicdiab,且cd

⑵abi0ab0 ⑶zabia2b2

⑷zabi

z，z指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）. 3．复数运算

⑴复数加减法：abicdiacbdi； ⑵复数的乘法：abicdiacbdbcadi；

abiabicdi⑶复数的除法： cdicdicdiacbdbcadiacbdbcadi

c2d2c2d2c2d2（类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的分母实数化） 4.常见的运算规律

(1)zz;2(2)zz2a,zz2bi;

2(3)zzzza2b2;(4)zz;(5)zzzR

(6)i4n1i,i24n21,i4n3i,i4n41;

2(7)1i1i1i1ii;(8)i,i,i

1i1i213i3n12,3n2,3n31 是1的立方虚根，则10，2(9)设5.复数的几何意义

复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x轴叫做复平面的实轴，y轴叫做复平面的虚轴.

一一对应复数zabi复平面内的点Z（a,b) 一一对应复数zabi平面向量OZ