抛物线性质30条

y=1x2x2ay焦点坐标（0，a（1）标准方程：a4) y22px(p0),焦点坐标（p2,0)(2）设过焦点F的直线l与抛物线交于A(x1,y1）、B(x2,y2)两点，则p2 ①xyy1x2=，②y1y2=-p2. 124x=-41x2 ③AB=x2p1+xsin2,④1AF+12+p=BF=2P.

⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. ⑥若C为抛物线上一点，且BC||x轴则A,O,C三点共线.若直线AO与抛物线的准线交于一点C，则BCx轴.(3)直线与抛物线的位置关系: y=kx+b222pxkx2(2kb2p)xb20 y当k=0时，有一个交点 k0有两个交点当k0时k0直线与抛物线相交k0直线与抛物线相离(4)与弦长公式有关的问题:①求弦长：AB(x221x2)2(y1y2)1kx11x21k2y1y2②求k③求面积

韦达定理：若,x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，则 xxbc12a,x1x2a

求根公式：xx-bb24ac1，2=2a

抛物线焦点弦性质总结30条 A'A(X1,Y1)C'C(X3,Y3)aOFB'B(X2,Y2) 基础回顾 1. 以AB为直径的圆与准线相切； 2. ; 3. y1y2p2; 4. AC'B90; 5. A'FB'90;

6. ABx1x2p2(xp232)psin2; 7.

1AF12BFP; 8. A、O、B'三点共线； 9. B、O、A'三点共线；

10. SAOBP22sin；

11. S2AOBAB(P2)3（定值）； 12. AFP1cos；BFP1cos；

13. BC'垂直平分B'F；

14. AC'垂直平分A'F；

15. C'FAB； 16. AB2P；

17. CC'12AB12(AA'BB')； 18. KAB=Py； 319. tan=y2x-p;

2220. A'B'24AFBF; 21. C'F12A'B'. 22.切线方程 y0ymx0x

1

Lpx1x2 性质深究

一)焦点弦与切线

1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有

何

特殊之处？

结论1：交点在准线上

先猜后证：当弦ABx轴时，则点P的坐标为p2,0在准线上． 证明: 从略

结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴

结论3 弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．

2、上述命题的逆命题是否成立？

结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点

先猜后证：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点． 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．

3、AB是抛物线y22px（p＞0）焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，AA1l，BB1l，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M．则有

结论6PA⊥PB． 结论7PF⊥AB． 结论8 M平分PQ．

结论9 PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．

结论10FAFBPF2 结论11SPABminp2

二)非焦点弦与切线

思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时， 也有与上述结论类似结果： 结论12 ①xpy1y2，yy1y22pp2 结论13 PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．

结论14 PFAPFB 结论15 点M平分PQ 结论16 FAFBPF2

相关考题

1、已知抛物线x24y的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且AFFB（＞0），过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M， （1）证明：FMAB的值；

（2）设ABM的面积为S，写出Sf的表达式，并求S的最小值．

2、已知抛物线C的方程为x24y，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B； （1）过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D，求证：AFDF；

（2）若直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交于点M，求证：AM⊥BM，且点M在直线l上． 3、对每个正整数n，Anx2n,yn是抛物线x4y上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bnsn,tn， （1）

试证：xnsn4（n≥1）

（2）取xnn2，并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点，求证：

FC11FC2FCn2n2n1（n≥1）

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