图1薄膜未受到束缚时膜时的示意图
图2 压应力造成薄膜与基板发生的形变
薄膜未受束缚时，膜层与基板存在的长度差ΔL，薄膜与基板的状态示意图见图一。
假设基板厚度ts远大于膜层厚度tf ，即ts>>tf ，因此，无应力的零平面为基板的中心轴。由于薄膜相对基板很薄，即认为应力在σf在薄膜内均匀分布。薄膜中的应力相对于零平面的力矩为
Mf=Wσf t f 2
其中，W为薄膜的宽度；
由图二的压应力造成薄膜与基板发生的形变示意图可得如下几何关系：
𝐭s
R=𝐭s ①
2dΔd
由①整理的②
1R
=𝐭sd =
2Δd
𝛆max
𝐭s2 ②
其中R是零平面起的基板曲面半径，d为零平面内的任意长度，
Δdd
=εmax是基板从外表面测得的应变，从基板的零平面上的弹性形变为
0，随着到零平面的距离Z的增大，弹性形变线性增大，可得：
𝛆s(Z)𝛆max1
=𝐭s= ZR
2 ③
εs(Z)是平行于零平面且距离零平面为Z的平面中的弹性应变，
当基板应力处于双轴状态时：
σs(Z)=(1−𝐕)εs(Z) =(1−𝐕) R
s
s
𝐄s𝐄s
𝐙
④
′
其中，二维弹性模量 𝐄𝐬
=
𝐄𝐬1−Vs
𝐄𝐬
,所以，基板中应力造成的力矩为：
Z2
𝐄s
𝐖𝐭𝟑𝐬
s
Ms=W∫(1−Vs) Rdz =(1−𝐕) 12R
因Mf=Ms ⑥，可得Stoney公式：
𝐄s
𝐭𝟐𝐬
𝐭s2𝐭−𝐬𝟐 ⑤
σf=(1−𝐕)6Rt
s
f
⑦
其中，𝐄s、𝐕s分别是基板的弹性模量和泊松比。ts和tf是基板和薄膜的厚度。R是基板的曲率半径。
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