导数理论在经济分析中的应用

文章编号：1007-9831（2010）04-0034-03

导数理论在经济分析中的应用

刘荣花，杨春艳，孙艳伟

（1. 齐齐哈尔高等师范专科学校 理工系，黑龙江 齐齐哈尔 161005；2. 齐齐哈尔恒昌中学，黑龙江 齐齐哈尔 161005）

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摘要：运用导数理论可以对现实经济活动中的问题进行一系列的量化分析，为广大企业管理者进行科学决策提供支持．对导数在经济学边际分析、弹性分析和优化分析中的应用进行阐述，并列举实例加以说明．

关键词：导数；经济学；边际分析；弹性分析；优化分析

中图分类号：F224.9 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2010.04.011

高等数学和经济学同为经济管理类专业的主干课程，如何将这2门学科的知识有效地结合起来，分析

[1-3]

现实经济问题，已经成为学者关注的热点．导数是高等数学的基础内容之一，随着市场经济的深入发展，导数在经济领域中的应用日益广泛．本文从边际分析、弹性分析和优化分析3个层面分析了导数在经济分析尤其是微观经济分析当中的应用，并列举实例加以说明．

1 导数的概念

设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量∆x时，相应地，函数有增量

∆y=f(x0+∆x)−f(x0)．如果∆y与∆x之比，当∆x→0时存在极限，则称函数y=f(x)在点x0处可导，

f(x0+∆x)−f(x0)∆y

=lim并称这个极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为f′(x0)，即f′(x0)=lim．

∆x→0∆x∆x→0∆x

2 经济分析中常用的函数

导数在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系，因此必须了解一些经济分析

中常见的函数．

（1）价格函数．一般说来，价格是销售量的函数．

（2）需求函数．需求函数为Q=f(p)，其中：Q表示商品需求量；p表示商品市场价格．

（3）成本函数．成本函数记为C，C=C0+C1，其中：C0为固定成本；C1为变动成本. （4）收益函数．收益函数记为R，R=pq，其中：q表示销售量；p表示价格． （5）利润函数．利润函数记为L，L=R−C，其中：R表示收入；C表示成本．

3 导数在经济分析中的应用

3.1 导数在经济学边际分析中的应用

设函数y=f(x)是可导函数，则f(x)的边际函数即为f′(x)．边际概念就是将导数的概念经济化．在经济学当中，涉及“边际”的问题主要有边际效用、边际替代率、边际产量、边际成本、边际收益和边际

收稿日期：2010-03-01

基金项目：黑龙江省高等教育学会“十一五”规划课题（115c-856）

作者简介：刘荣花（1977-），女，黑龙江庆安人，讲师，从事应用数学研究．E-mail：liuronghua1977@126.com

第4期 刘荣花，等：导数理论在经济分析中的应用 35

利润等．边际效用（MU）指在一定时间内消费者增加一个单位商品或服务所带来的新增效用，也就

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是总效用的增量．

例1 假设消费者在商品X和商品Y花去自己的全部收入．为了达到均衡，消费者必须使他的预算约最大化．也就是说，求解maxU=f(QX, QY)，约束条件为M=PXQX+PYQY．其中：QX，束下的效用（U）

Qy分别为购买商品X，Y的数量；PX，PY分别为商品X，Y的价格．

解 为了求解该问题，首先构造拉格朗日方程L=f(Q, Q)+λ(M−PQ−PQ)．求L对QX，QY和λ的

X

Y

X

X

Y

Y

一阶偏导数，并使之等于0，得到

∂L∂L∂f∂L∂f

=M−PXQX−PYQY=0 （1） =−λPX=0, =−λPY=0, ∂λ∂QX∂QX∂QY∂QY

∂f/∂QX∂f/∂QYMUX∂f∂L∂f∂L

解方程=−λPX=0和=−λPY=0，求得λ=，λ== =

PXPY∂QX∂QX∂QY∂QYPX

MUY

，进一步解方程组（1）即可求得最优值QX及QY． PY

MUX是消费者消费最后一单位商品X所得到的边际效用，MUY是消费者消费最后一单位商品Y所得到的边际效用．因此表明，为了达到约束条件下的效用最大化，消费者必须使花在商品X上的最后一元与花在商品Y上的最后一元的边际效用相等，而λ是消费者达到均衡时，花费在商品X和商品Y上面的最后一元的边际效用．

3.2 导数在经济学弹性分析中的应用

弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量的变化的反[6-8]

应程度．

∆yf(x0+∆x)−f(x0)

设函数y=f(x)在点x=x0处可导，=函数的相对改变量与自变量的相对改变量

y0f(x0)

∆y/y0∆x

之比，称为函数f(x)从x=x0到x=x0+∆x两点间的平均相对变化率，或者称为两点间的弹x0∆x/x0

∆y/y0

的极限称为f(x)在x=x0处的相对变化率，也就是相对导数，或称为弹性，记性．当∆x→0时，

∆x/x0为

EyEx

x0

．对于一般的x，若f(x)可导且f(x)≠0，则有

EyEx

=lim

∆y/y0∆yxx

=lim=y′，称为f(x)的

∆x→0∆x/x∆x→0∆xyy0

弹性函数，简称弹性．

经济学所分析的弹性问题主要可以分为需求弹性和供给弹性2个方面，也可以分成点弹性和弧弹性2种，常见的弹性分析主要有需求的价格弹性、需求的收入弹性、需求的交叉价格弹性以及供给的价格弹性、供给的收入弹性、供给的交叉价格弹性等．

例2 在一个某种商品的需求量对价格、收入和其它变量的回归方程中，收入的回归系数是10．要求：（1）计算当收入为10 000美元，商品销售量是80 000单位时，该商品的收入弹性；（2）如果该商品销售量从80 000上升到90 000单位，收入从10 000美元上升到11 000美元，商品的收入弹性是多少？该商品属于哪种产品？

∆QI

解 （1）该商品的需求收入弹性是，其中：I表示收入；Q表示商品销售数量；∆Q是商品销

∆IQ

售数量的变化；∆I是收入的变化．在对Q进行的关于I和其它解释变量的回归中，I的估计系数是10，即∆Q

=10． ∆I

10 000

=1.25． 因此，对于10 000美元的收入和80 000单位的销售量，商品的收入弹性EI=10×

80 000

（2）销售量从80 000增加到90 000单位，消费者的收入从10 000美元增加到11 000美元时，EI=

36 高 师 理 科 学 刊 第30卷

Q2−Q1I2+I1

=1.24，因为EI为正数，该商品为正常商品，又因为EI高于1，所以该商品是奢侈品．

I2−I1Q2+Q1

3.3 导数在经济学优化分析中的应用

优化分析是经济管理活动中的核心问题之一，通常是利用导数和线性规划等数学分析工具来探求使经

[9-11]

济活动效果最好或者代价最小的行为方式，以便为企业管理者提供相关的决策依据．

经济学分析中的主要优化问题有产出最大化分析、收入最大化分析、利润最大化分析、资源合理利用的优化分析、成本最小化分析以及最优组合分析等，通常伴随一些约束条件．通过优化分析可以帮助企业管理者寻求最大化企业的收益，并尽量降低生产成本和管理费用，意义非常深远．

例3 假定企业的总收益和总成本函数分别为TR=45Q−0.5Q2，TC=Q3−8Q2+57Q+2．分析产量为多少时，企业才能获得最大化的利润．

解 L=TR−TC=−Q3+7.5Q−12Q−2，为了求企业L最大时的产出水平，令

dL

=0，解得Q1=1，dQ

Q2=4．

d2Ld2L

进一步，求得L关于Q的二阶导数=15−6Q．当Q=1时，2

dQ2dQ

=9，L取最小值．当Q=4时，

Q=1

d2L

dQ2

=−9，L取最大值．所以，L在Q=4时最大，从而可以求得企业最大利润Lmax=6．

Q=4

参考文献：

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The application of differential quotient in economic analysis

LIU Rong-hua，YANG Chun-yan，SUN Yan-wei

（1. Department of Science，Qiqihar Higher Teachers College，Qiqihar 161005，China；

2. Qiqihar Hengchang Middle School，Qiqihar 161005，China）

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Abstract：Do a series of quantitative analysis on many problems in our everyday economic activities by using differential quotient，for the majority of business managers to provide support for scientific decision-making. Researched the simple application of differential quotient in marginal analysis，elasticity analysis and optimization analysis，and gave some example to explain．

Key words：differential quotient；economics；marginal analysis；elasticity analysis；optimization analysis