高中学业水平考试模拟测试卷(四) (时间：90分钟 满分100分) 一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，全集U＝{1，2，3}，则∁U(P∩Q)等于( ) A．{3} B．{2，3} C．{2} D．{1，3} 解析：因为全集U＝{1，2，3}，集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，所以P∩Q＝{2}， 所以∁U(P∩Q)＝{1，3}，故选D. 答案：D 2．圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0的圆心和半径分别是( ) A．(2，－3)；
B．(2，－3)；
2 C．(－2，3)；
1 D．(－2，3)；
解析：圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝2，据此可知圆心坐标为(2，－3)，圆的半径为，故选A. 答案：A 3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为( ) A．－ B. C．± D．1 解析：因为3a＋2b与ka－b互相垂直， 所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0， 因为a⊥b，所以a·b＝0， 所以12k－18＝0，k＝. 答案：B 4．若cos＝，则sin＝( ) A. B. C．－ D．－ 解析：因为cos＝， 所以sin＝sin＝cos＝，故选A. 答案：A 5．已知函数f(x)＝＋，则f(x)的定义域是( ) A．[－1，2) B．[－1，＋∞) C．(2，＋∞) D．[－1，2)∪(2，＋∞) 解析：根据题意得解得x≥－1且x≠2，故f(x)的定义域为[－1，2)∪(2，＋∞)，故选D. 答案：D 6．若双曲线－y2＝1的一条渐近线方程为y＝3x，则正实数a的值为( ) A．9 B．3 C. D. 解析：双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±，由题意可得＝3，解得a＝，故选D. 答案：D 7．若直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程为( ) A．3x＋2y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0 解析：因为2x－3y＋4＝0的斜率k＝，所以直线l的斜率k′＝－，由点斜式可得l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0，故选A. 答案：A 8．已知＝(1，－1，0)，C(0，1，－2)，若＝2，则点D的坐标为( ) A．(－2，3，－2) B．(2，－3，2) C．(－2，1，2) D．(2，－1，－2) 解析：设点D的坐标为(x，y，z)，又C(0，1，－2)，所以＝(x，y－1，z＋2)， 因为＝(1，－1，0)，＝2，所以(x，y－1，z＋2)＝(2，－2，0)，即则点D的坐标为(2，－1，－2)．故选D. 答案：D 9．已知平面α，β和直线m，直线m不在平面α，β内，若α⊥β，则“m∥β”是“m⊥α”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由α⊥β，m∥β，可得m⊥α或m∥α或m与α既不垂直也不平行，故充分性不成立；
由α⊥β，m⊥α可得m∥β，故必要性成立，故选B. 答案：B 10．将函数y＝sin的图象经怎样平移后，所得的图象关于点成中心对称( ) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 解析：将函数y＝sin的图象向左平移φ个单位，得y＝sin的图象，因为该图象关于点成中心对称，所以2×＋2φ＋＝kπ(k∈Z)，则φ＝－(k∈Z)，当k＝0时，φ＝－，故应将函数y＝sin的图象向右平移个单位，选B. 答案：B 11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝，c＝，b＝3a，则△ABC的面积为( ) A. B. C. D. 解析：已知C＝，c＝，b＝3a，所以由余弦定理可得7＝a2＋b2－ab＝a2＋9a2－3a2＝7a2，解得a＝1，则b＝3， 所以S△ABC＝absin C＝×1×3×＝.故选B. 答案：B 12．函数y＝的图象大致是( ) 解析：因为y＝的定义域为{x|x≠0}，所以排除选项A；
当x＝－1时，y＝>0，故排除选项B；
当x→＋∞时，y→0，故排除选项D，故选C. 答案：C 13．若实数x，y满足约束条件则z＝x2＋y2的最大值是( ) A. B．4 C．9 D．10 解析：作出约束条件的可行域，如图中阴影部分所示， 因为A(0，－3)，C(0，2)，所以|OA|>|OC|.联立解得B(3，－1)．因为x2＋y2的几何意义为可行域内的动点与原点距离的平方，且|OB|2＝9＋1＝10，所以z＝x2＋y2的最大值是10.故选D. 答案：D 14．已知等差数列{an}的前n项和是Sn，公差d不等于零，若a2，a3，a6成等比数列，则( ) A．a1d>0，dS3>0 B．a1d>0，dS3<0 C．a1d<0，dS3>0 D．a1d<0，dS3<0 解析：由a2，a3，a6成等比数列，可得a＝a2a6，则(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，即2a1d＋d2＝0， 因为公差d不等于零，所以a1d<0， 2a1＋d＝0，所以dS3＝d(3a1＋3d)＝d2>0.故选C. 答案：C 15．如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，HG与IJ所成角的度数为( ) A．90° B．60° C．45° D．0° 解析：将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，点A，B，C重合为点M，得到三棱锥M-DEF，如图．因为I、J分别为BE、DE的中点，所以IJ∥侧棱MD，故GH与IJ所成的角等于侧棱MD与GH所成的角．因为∠AHG＝60°，即∠MHG＝60°，所以GH与IJ所成的角的度数为60°，故选B. 答案：B 二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．) 16．设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－，且a2，a4，a3成等差数列，则公比q＝______，数列{an}的前4项的和为_______． 解析：公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－，所以a＝－， 解得a2＝－，a3＝－q，a4＝－q2， 又a2，a4，a3成等差数列，故2a4＝a2＋a3，解得q＝－，a1＝1，由Sn＝可得S4＝. 答案：－ 17．设函数f(x)(x∈R)满足|f(x)－x2|≤，|f(x)＋1－x2|≤，则f(1)＝________． 解析：由|f(x)－x2|≤，得－≤f(x)－x2≤. 由|f(x)＋1－x2|≤，得－≤f(x)－x2＋1≤，即－≤f(x)－x2≤－， 所以f(x)－x2＝－， 则f(1)－1＝－，故f(1)＝. 答案：
18．若半径为10的球面上有A、B、C三点，且AB＝8，∠ACB＝60°，则球心O到平面ABC的距离为________． 解析：在△ABC中，AB＝8，∠ACB＝60°，由正弦定理可求得其外接圆的直径为＝16，即半径为8，又球心在平面ABC上的射影是△ABC的外心，故球心到平面ABC的距离、球的半径及三角形外接圆的半径构成了一个直角三角形，设球面距为d，则有d2＝102－82＝36，解得d＝6.故球心O到平面ABC的距离为6. 答案：6 19．已知动点P是边长为的正方形ABCD的边上任意一点，MN是正方形ABCD的外接圆O的一条动弦，且MN＝，则·的取值范围是________． 解析：如图，取MN的中点H，连接PH， 则＝＋＝－，＝＋. 因为MN＝，所以·＝2－2＝2－≥－，当且仅当点P，H重合时取到最小值．当P，H不重合时，连接PO，OH，易得OH＝， 则2＝(＋)2＝2＋2·＋2＝2＋－2||||·cos∠POH＝2＋－||·cos∠POH≤2＋＋||≤＋，当且仅当P，O，H三点共线，且P在A，B，C，D其中某一点处时取到等号， 所以·＝2－≤＋1， 故·的取值范围为. 答案：
三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字，证明过程和演算步骤．) 20．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B. (1)求角C的大小；
(2)若△ABC的面积为2，c＝2，求△ABC的周长． 解：(1)由sin2 A＋sin2 B－sin2 C＝sin Asin B及正弦定理，得a2＋b2－c2＝ab， 由余弦定理得cos C＝＝， 因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)由(1)知C＝. 由△ABC的面积为2得ab·＝2，解得ab＝8， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab×＝(a＋b)2－3ab＝12， 所以(a＋b)2＝36，a＋b＝6， 故△ABC的周长为6＋2. 21．如图，直线l与椭圆C：＋＝1交于M，N两点，且|MN|＝2，点N关于原点O的对称点为P. (1)若直线MP的斜率为－，求此时直线MN的斜率k的值；
(2)求点P到直线MN的距离的最大值． 解：(1)设直线MP的斜率为k′，点M(x，y)，N(s，t)， 则P(－s，－t)，k′＝－，且＋＝1，＋＝1， 所以y2＝2－，t2＝2－. 又k′·k＝·＝＝＝－. 且k′＝－，所以k＝1. (2)当直线MN的斜率k存在时，设其方程为y＝kx＋m， 由消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0， 则Δ＝8(4k2－m2＋2)>0， x1＋x2＝，x1·x2＝， 由|MN|＝|x1－x2|＝·＝2， 化简得m2＝. 设点O到直线MN的距离为d，则P到MN的距离为2d， 又d＝， 则4d2＝＝ ＝8－<8， 所以0<2d<2. 当直线MN的斜率不存在时， 则M(－，1)，N(－，－1)， 则P(，1)，此时点P到直线MN的距离为2. 综上，点P到直线MN的距离的最大值为2.