福建公务员行测备考指导之余数法巧解多位数
2024-08-17
来源：伴沃教育
2009年三省联考中出现了这样一道试题：
【例1】由1、2、3组成的没有重复数字的所有三位数之和为多少？（ ）
A.1222 B.1232
C.1322 D.1332
对于本题，通常有以下三种解法：
解1：由这三个数字组成的没有重复数字的三位数有123、132、312、321、213、231六个，简单相加可知答案为1332，因此本题应选择D。
解2：由这样3个数字组成的三位数的个数总共有个，由于3个数字的地位是完全相同的，所以这3个数字在各个位数上出现的次数相同，也即在各个位数上出现6÷3=2次。因此在各个位数上，这6个数的加和为(1+2+3)×2=12，因此这6个数的和为12×(100+10+1)=12×111=1332。因此本题应选择D。
解3：因为1+2+3=6为“3”的倍数，所以由1、2、3组成的没有重复数字的任意三位数也能够被3整除，因此其和也能被3整除，备选项中只有D能被3整除，因此本题应选择D。
以上三种解法中，解1最平凡，操作起来也最繁琐，尤其当数字较多时，就很难进行下去；解2的操作具有可推广性，计算量小，技巧性也较强，但是思维过程显得有些“绕”，对于数学基础较差的学生不易掌握；解法3巧用数字特性，解题快捷简便，利于学生掌握，但是却存在一点不足，就是四个选项中两个或两个以上的备选项对于3同余的情况很容易出现，这时就不能唯一确定答案了。
针对解2和解3中存在的缺陷，我们加以弥补，便可得到下面两种新的解法：
解4：由解2的操作过程我们可以轻松推导出这样的结论，即由n个（不同的）非零一位数组成没有重复数字的所有n位数之和是(n个1)的倍数。所以例1中的求和结果必为111的倍数，经验证只有选项D满足要求，因此选择D选项。
解4的方法利用从解2方法中得出的一个结论，巧用数字特性解题，思维简单机械，容易记忆掌握，而(n个1)与3不同，备选项中出现两个或两个以上的选项能被(n个1)整除的可能性较低，但该方法也并非尽善尽美，因为判断一个数是否为(n个1)的倍数并没有简便的方法，需要直接作除法验证。于是，我们在解3的基础上，得到下面的解法5——余9法。
解5：因为1+2+3=6，所以由1、2、3组成的没有重复的任意三位数除以9的余数为6，而由这样3个数字组成的三位数的个数总共有个，每一个除以9余6，因此其和除以9余6×6=36，又36÷9=4，因此其和也为9的倍数，选项中只有D满足，因此选择D选项。
解5结合了解2中的计数思想与解3中的数字特性思想，并利用计算问题中常使用的余9法，解题过程简单快捷，容易掌握，且9与3不同，备选项中出现两个或以上的选项关于9同余的可能性也很小，因此该方法可操作性也很强！
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