为什么e^(x)-1与x等价无穷小,详细过程
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lim (e^x-1)/x (0/0型,适用罗必达)
x->0
=lim e^x/1
x->0
=1
所以为等价无穷小
如果不用罗必达,也可令e^x-1=t 则e^x=t+1 x=ln(t+1)
x->0 t->0
lim t/ln(t+1)
t->0
=lim1/ln(t+1)^1/t
t->0
=1
等价无穷小是无穷小的一种。在同一点上，这两个无穷小之比的极限为1，称这两个无穷小是等价的。等价无穷小也是同阶无穷小。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。
注意：等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换）。
扩展资料：
无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。
变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用。
所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。
无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢。因此两个无穷小量之间又分为高阶无穷小 ，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
参考资料来源：百度百科——等价无穷小
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e^(x)-1与x在x->0时，是等价无穷小。
变量替换
令：t = e^(x)-1 则： x=ln(1+t) ； x->0 时， t->0
lim(x->0) [e^(x)-1]/x
=lim(t->0) t/ln(1+t)
=lim(t->0) 1/ln[(1+t)^(1/t)]
∵ lim(t->0) (1+t)^(1/t) = e ∴
= 1/lne
= 1
∴ [e^(x)-1] ~ x (x->0)
扩展资料：
无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。
变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用。
所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。
无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢。因此两个无穷小量之间又分为高阶无穷小 ，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
参考资料：百度百科-等价无穷小
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e^(x)-1与x在x->0时，是等价无穷小。
变量替换
令：t = e^(x)-1 则： x=ln(1+t) ； x->0 时， t->0
lim(x->0) [e^(x)-1]/x
=lim(t->0) t/ln(1+t)
=lim(t->0) 1/ln[(1+t)^(1/t)]
∵ lim(t->0) (1+t)^(1/t) = e ∴
= 1/lne
= 1
∴ [e^(x)-1] ~ x (x->0)
扩展资料：
当x→0时，等价无穷小：
（1）sinx~x
（2）tanx~x
（3）arcsinx~x
（4）arctanx~x
（5）1-cosx~1/2x^2
（6）a^x-1~xlna
（7）e^x-1~x
（8）ln(1+x)~x
（9）(1+Bx)^a-1~aBx
（10）[(1+x)^1/n]-1~1/nx
（11）loga(1+x)~x/lna
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等价无穷小的根本还是泰勒展开，x趋于0时e^x-1与x等价无穷小，是因为e^x-1在0点的泰勒展开的第一项是x，而后面的项均为x的高阶无穷小，所以在近似情况下两个是同阶等价的，也正是因为精度比较低，所以等价无穷小不可以在加减位置上替换。
所有的等价无穷小都是基于0点的泰勒展开得到的
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由定义知e=lim（x—＞0）（1+x）^（1/x）
因此x—＞0时e^x-1=1+x-1=x，故lim（x—＞0）（e^x-1）/x=1，等价无穷小得证，不需要洛必达或者泰勒展开
