求二元函数 f(x,y)=x2y2+xy,在条件x+2y=4下的极值

发布网友 发布时间：2022-04-25 06:25

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热心网友 时间：2023-11-03 00:30

f(x,y)=x^2*y^2+xy
x+2y=4
x=4-2y

f(y)=(4-2y)^2*y^2+(4-2y)y
=16y^2-16y^3+4y^4+4y-2y^2
=4y^4-16y^3+14y^2+4y

f'(y)=16y^3-48y^2+28y+4
4y^3-12y^2+7y+1=0
4(y-1)^3-5(y-1)=0
(y-1)[4(y-1)^2-5]=0
(y-1)[2(y-1)-√5][2(y-1)+√5]=0
y1=1-√5/2,y2=1,y3=1+√5/2，
x1=2+√5,x2=2,x3=2-√5，

即在(x1,y1)=(2+√5,1-√5/2),(x2,y2)=(2,1),(x3,y3)=(2-√5,1+√5/2)
三处有极点，

再代入可求出3个极值。

x1y1=(2+√5)(1-√5/2)=-1/2,f(x1,y1)=1/4-1/2=-1/4;
x2y2=2*1=2,f(x2,y2)=4-2=2;
x3y3=(2-√5)(1+√5/2)=-1/2,,f(x3,y3)=1/4-1/2=-1/4。

热心网友 时间：2023-11-03 00:30

x+2y=4,所以x=4-2y.将此式代入f(x,y)=x2y2+xy。得到f(y)的式子。然后对y进行求导，求极值即可

热心网友 时间：2023-11-03 00:31

1.
f(x,y)=x^2*y^2+xy
=(xy+(1/2))^2-(1/4)>-1/4
f(x,y)的最小值=-1/4
此时：
xy+(1/2)=0
x+2y=4
则：x=2+(根号5),y=(2-(根号5))/2
或：x=2-(根号5),y=(2+(根号5))/2

2.

热心网友 时间：2023-11-03 00:31

． 24、二次函数y＝－2x2＋4 x－3的图象的开口向 ；顶点是 ． 25、1、将－x4＋x2y2因式分解正确的是（ ） A、－x2（x2＋y2） B、－x2（