...对任意正数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时f(x)
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发布时间：2024-10-23 22:51
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热心网友
时间：2024-11-19 01:50
分析：
（Ⅰ）求 f(1)，f(19)的值；令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）即可求得f（1）．同理求出f（9）后，令x=9，xy=1，代入等式即可求得答案；
（Ⅱ）证明f（x）在R+是减函数；取定义域中的任意的x1，x2，且0＜x1＜x2然后根据关系式f（xy）=f（x）+f（y），证明f（x1）＞f（x2）即可；
（Ⅲ）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围，由（Ⅰ）的结果得： f[x(2-x)]＜f(1/9)，其中0＜x＜2，再根据单调性，列出不等式．解出取值范围即可．
解：（Ⅰ）令x=y=1易得f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且f(9)+f(1/9)=f(1)=0， 所以f(1/9)=2
（Ⅱ）取定义域中的任意的x1，x2
且0<x1<x2推出x2/x1>1,推出f(x2/x1)<0
所以f(x2)=f(x2/x1*x1)=f(x2/x1)+f(x1)<f(x1)
∴ f（x）在R+上为减函数．
（Ⅲ）由条件（1）及（Ⅰ）的结果得： f[x(2-x)]<f(1/9)，其中0<x<2
由可（Ⅱ）得： x(2-x)>1/9且0<x<2
解得x的范围是(1-2√2/3, 1+2√2/3)
此题主要考查抽象函数的一系列问题．其中涉及到函数单调性的证明，函数值的求解问题．属于综合性问题，涵盖知识点较多.
热心网友
时间：2024-11-19 01:51
f(1)=f(1)+f(1),则f(1)=0
f(1)=f(3)+f(1/3),则f(1/3)=1
f(1/9)=f(1/3)+f(1/3)=2
设a为大于1的正数，x>0则ax>x,f(ax)=f(x)+f(a)<f(x),f(x)在x>0时，单调递减
f(x)<2=f(1/9)
则x>1/9
3.f(kx)+f(2-x),当2>x>0时，化为f(kx(2-x))<f(1/9)
kx^2+2kx+1/9<0有解,则有Δ=4k^2-4k/9>0
k>1/3
