严格主对角占优矩阵的正定性
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严格对角占优矩阵的正定性是矩阵理论中的重要问题。设[公式] 是 [公式] 阶实对称矩阵。若[公式] 是严格对角占优矩阵且主对角元全为正，则我们需证明[公式] 是正定阵。
利用正定矩阵的一个判定条件：[公式] 的顺序主子式全大于 [公式] 。接下来，我们进行证明。
首先，由于严格对角占优矩阵的顺序主子阵仍是严格对角占优矩阵，只需证明主对角元全为正的严格对角占优矩阵的行列式大于 [公式] 即可。
若[公式]，则方程组[公式] 有非零解。假设其中一解为 [公式] ，并设[公式] 是其中绝对值最大者[公式]。考虑第 [公式] 个方程，可得[公式]。这与[公式] 是严格对角占优阵矛盾，因此 [公式]。
接着，考虑矩阵[公式]，它是严格对角占优矩阵，因此 [公式]。由于 [公式] 且 [公式] 是关于 [公式] 的连续函数，所以 [公式]。这证明了主对角元全为正的严格对角占优矩阵的行列式大于 [公式]。
进一步，由其顺序主子阵仍为严格对角占优阵，可知[公式] 的所有顺序主子式全大于 [公式]。由此可得[公式]正定。
