...≠0)与椭圆交于A、B两点,求△AOB(O为原点)面积的最大值
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发布时间：2024-10-21 20:09
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时间：9分钟前
因为椭圆方程 x^2/2+y^2/8=1与直线 y=2x+m(m≠0)交于A、B两点
所以联立消 y可得 8X^2+4mX+m^2-8=0
根据韦达定理得 Xa+Xb=-m/2 ,Xa×Xb=(m^2-8)/8
则lABl=√(1+k^2) lXa-Xbl (弦长公式) 代入得lABl=((√5)/2)×(√(16-m^2))
原点到直线y=2x+m(m≠0)的距离为 d=m/√5
S△AOB=1/2 x lABl x d=m/2 x √(16-m^2)=1/2 x √(16m^2-m^4)
另m^2=z 则要S△AOB最大即 16m^2-m^4最大，即16z-z^2(图像开口向下)最大
带入对称轴 z=8得S△AOB最大值为4，此时m=±2√2
