...定义域为(o,+00),且对一切X>O,y>O都有f(x/y)=f(x)一f(y),当x>l...
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函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且对一切x>0、y>0都有f(x/y)=f(x)-f(y)，当x>1时，有f(x)>0(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并加以证明；(3)若f(4)=2,求f(x)在[1，16]上的值域；
解：
(1)
∵ ∀ x、y∈(0，+∞)，都有f(x/y)=f(x)-f(y)
∴ f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)
即f(1)=0；
(2)设0＜x1＜x2＜+∞，则
x2/x1＞1
又当x>1时有
f(x)>0
从而
f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)>0
即
f(x1)＜f(x2)
故f(x)为定义在(0，+∞)上的单调递增函数；
(3)
∵∀ x、y∈(0，+∞)，都有f(x/y)=f(x)-f(y)
∴ f(16/4)=f(16)-f(4)=f(4)
又 f(4)=2
∴f(16)=2f(4)=4
由(2)知f(x)在x∈[1，16]上单调递增
∴f(x)在x∈[1，16]上的值域为[f(1)，f(16)]=[0，4]
